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'''【だいきぼAHP (large scale AHP) 】'''

　[[大規模AHP]] (Large scale AHP)[1]とは, 複数の評価者を想定したAHPのモデルである. 通常のAHPとの違いは, 多数の代替案, 複数の評価者および欠落データを許している点である. つまり, 各評価者は多数の代替案に対し一対比較するのではなく, 相対評価できる代替案のみ一対比較するものである. AHPでは一人の評価者が全一対比較するため, 評価項目（代替案）の数を<math>n\, </math>とすると, 一対比較の回数は<math>n(n-1)/2\, </math>回となり, 評価項目（代替案）の数が増加すると, 一対比較の回数が爆発的に増加する. 例えば, 評価項目が1階層で, 5個の評価項目の場合, <math>5 \times (5-1)/2=10\, </math>回の一対比較を行う. さらに, 代替案が10個ある場合各評価項目に対し<math>10 \times (10-1)/2=45\, </math>回の一対比較を行う必要がある. 合計すると, 235回の一対比較する必要がある. これは, かなり困難な作業である. 大規模AHPは, 複数の評価者が評価を行うことと欠落データを許すことにより, 1人の評価者が行う一対比較する作業を軽減することができる. 

　AHPの重要度ベクトルの導出法には, 固有ベクトル法と幾何平均法(対数最小２乗法）があるが, 対数最小二乗法の考えを大規模な問題に適用した手法が大規模AHPである. AHPでは, 一人の評価者が同一階層の評価項目（代替案）間を全一対比較する必要がある. しかし, 評価項目（代替案）の項目数<math>n\, </math>が多くなるにつれて, 莫大な労力と時間が必要となる. そこで大規模AHPでは次のような評価方法を提案している. 

'''「各評価者が相対評価できる評価項目（代替案）間のみに一対比較を行い, 一対比較による相対評価を行わない評価項目（代替案）間を許す. 相対評価された評価項目（代替案）間には一対比較値を割り当てる. 」'''

　大規模AHPでは, 一対比較ネットワークという考えを導入する. 一対比較ネットワークは, 次のように与える. 評価者は<math>L\, </math>人とし, このとき第<math>l\, </math>評価者が一対比較した評価項目（代替案）対の集合を, 


<math>K_l=\{(i,j)|\, </math>代替案<math>i,j(1 \le i<j \le n)\, </math>は第<math>l\, </math>評価者によって一対比較された. <math>\} \, </math>


とする. 第<math>l\, </math>評価者が評価項目（代替案）<math>i\, </math>に対して, 評価項目(代替案)<math>j\, </math>を一対比較した場合, その一対比較値を<math>a^l_{ij}\, </math>とする. いずれかの評価者によって一対比較された評価項目（代替案）対の集合<math>K\, </math>は, <math>K=\cup^L_{l=1}K_l\, </math>であり, また, いずれの評価者からも一対比較されなかった評価項目（代替案）対の集合<math>\bar{K}\, </math>は, 


<math>\bar{K}=\{(i,j)|1 \le i<j \le n\}\backslash K  \, </math>


である. <math>\bar{K}\ne \phi\, </math>であれば, 一対比較されなかった評価項目（代替案）の組が存在し, 逆も成り立つ. 大規模AHPでは各評価者が一対比較しない評価項目（代替案）間の存在も許すので, <math>\bar{K}\ne \phi\, </math>となる場合もありえる. ここで, ノードの集合を<math>V=\{1,\ldots,n\}\, </math>, エッジの集合を<math>E\, </math>としたグラフ<math>G=(V,E)\, </math>を一対比較ネットワークと定義する. 

　第<math>l_1\, </math>評価者と第<math>l_2(\ne l_1)\, </math>評価者が重複して評価項目（代替案）<math>i,j(i<j)\, </math>を一対比較したならば, ネットワーク<math>G\, </math>で点<math>i\, </math>と点<math>j\, </math>を結ぶエッジは2本以上存在する. 従って一対比較ネットワーク<math>G\, </math>のエッジの数は, <math>|E|=\sum^L_{l=1}|K_l|\geq |K|\, </math>である. <math>|K|<|E|\, </math>であれば, ある評価項目（代替案）の組に対して重複評価が存在し, 逆も成り立つ. 一対比較ネットワーク<math>G\, </math>において, 任意のノードは全てのノードと直接または間接的に連結されている必要がある. 

　一対比較ネットワーク<math>G\, </math>において, エッジでノードが結ばれている関係を示す行列を, 接続行列(Connection Matrix)として<math>C \in R^{n \times |E|}\, </math>, 接続行列の列に割り当てられたエッジのならびに沿って, 各評価者の一対比較値を対数変換した値<math>\tilde{a}^l_{ij}\, </math>を並べたベクトルを, カットベクトル(Cut Vector)として<math>\boldsymbol{p}\, </math>とする. 

　大規模AHPでのウェイトベクトルの導出は, 誤差モデルを用いて, ウェイトベクトル<math>\boldsymbol{w}\, </math>をを対数変換した<math>\tilde{\boldsymbol{w}}\, </math>推定することにより求められる. すなわち, 


<math>\min \| C^{\top} \tilde{\boldsymbol{w}} - \boldsymbol{p} \|^2 =\min \sum_{l=1}^{L} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (\tilde{\boldsymbol{w}}_i-\tilde{\boldsymbol{w}}_j-\tilde{a}^l_{ij})^2 \, </math>


を満足する<math>\boldsymbol{w}\, </math>を求める. いま<math>\| \cdot \|\, </math>を<math>L_{2}\, </math>ノルム(ユークリッドノルム)<math>\| \cdot \|_2\, </math>とすると, <math>\tilde{\boldsymbol{w}}\, </math>は正規方程式の解として, 以下のように与えられる. 


<math>CC^{\top}\tilde{\boldsymbol{w}}=C\boldsymbol{p} \, </math>


しかし, 接続行列<math>C\, </math>のランクは<math>r(C)=n-1\, </math>であり, <math>\tilde{\boldsymbol{w}}\, </math>の解は一意に決定されない. そこで一般化逆行列を用いて, 


<math>\tilde{\boldsymbol{w}}=(CC^{\top}+\boldsymbol{e}\boldsymbol{e}^{\top})^{-1}C\boldsymbol{p}+\frac{\tilde{\alpha}}{n}\boldsymbol{e} \, </math>


で与えられる. このとき<math>\boldsymbol{e}\, </math>は全ての要素が<math>1\, </math>のベクトル, <math>\alpha\, </math>は<math>\tilde{\boldsymbol{w}} \, </math>を対数逆変換した<math>\boldsymbol{w}\, </math>の総和が1となるような実数である. 



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'''参考文献'''

[1] 八卷直一, 関谷和之, 「複数の評価者を想定した大規模なAHPの提案と人事評価への適用」, 『日本オペレーションズリサーチ学会論文誌』, 1999, 405-420.