エルゴード定理のソースを表示

'''【えるごーどていり (ergodic theorem)】'''


定常な離散時間確率過程 <math>\{ X_n \} \, </math>が有限な平均値をもつならば, 確率1で

<math>
  \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \mbox{E}(X_1|\mathcal{G})
\,</math>

が成り立つ. 
ここで, 

<math>\mathcal{G} \, </math>は <math>\{ X_n \} \, </math> のずらしに関する不変事象の <math>\sigma \, </math>-集合体である. この結果を, (離散時間)エルゴード定理と呼ぶ. 特に、 <math>\{ X_n\} \, </math> がエルゴード的ならば右辺は  <math>\mbox{E}(X_1) \, </math> となる。連続時間確率過程についても同様である。