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'''【ふへんまいぼつげんり (principle of invariant imbedding)】'''

　ある問題を解こうとするとき, この問題を含む部分問題からなる群(族)を考えることを「埋め込み」(imbedding)という. すなわち, 与問題をある問題群の１つと見做すことである. このとき, 問題の大きさは小さい(易しい)ものから大きい(難しい)ものまであり, 一番大きい(解きたい)問題が与問題である. しかし, 問題の「構造」は不変である. さらに, 相隣る問題間の関係式を導き, これを解くことによって, 与問題の「解」を求める. このような方法で解に至るまでを, [[不変埋没原理]] (principle of invariant imbedding)による方法という [1] [4] [5].  

　たとえば,「1から10までの自然数の和を求める」問題を考えてみよう. 以下ではいつも「1から」(前向きの方法で)考えることにして, この問題を $ {\rm P}(10) $ で表わし, 「解」(この場合, 和)を $ S(10) $ としよう. このとき, 「1から $ n $ までの自然数の和を求める」部分問題 $ {\rm P}(n) $ からなる群 $\{ {\rm P}(n); n = 1, 2, \ldots , 10\} $ を考える. このこと自体が埋め込みである. 部分問題 $ {\rm P}(n) $ の解($=$和)を $ S(n) $ とする. 最後の(一番大きい)問題 $ {\rm P}(10) $ の解 $ S(10) $ が求める解である. このとき, 最初の(一番易しい)問題の解は $ S(1) = 1$ であり,  相隣る問題の解 $ S(n) $ と $ S(n+1) $ の間に漸化式


$$  S(n+1) = S(n) + n+1[[利用者:Orsjwiki|Orsjwiki]] 2007年7月3日 (水) 17:29 (JST)n = 1, 2, \ldots , 9;2007年7月3日 (水) 17:29 (JST)~S(1) = 1  $$

が成り立つ. 漸化式を $  S(1), S(2), \ldots $ の順に前向きに逐次解くことによって, $ S(10) = 55  $を得る. 他方, 「$ n $ から(いつも！)10までの自然数の和を求める」部分問題 $ {\rm Q}(n) $ の族を考えても, 上述と同様に解くことができる. これを後向きの埋め込みという.
 
　一般の問題では, どのような大きさの問題群に埋め込むか, 関係式が導けるか, 解けるか, 解き易いかなど, 埋め込み方に工夫を要する. たとえば, 多段階の最適化問題


\begin{eqnarray*}
& & \hspace{5mm} {\rm max.} \hspace{4mm}
                  \psi(g_{1}(x_{1},x_{2}) \circ g_{2}(x_{2},x_{3}) \circ
 \cdots \circ g_{N}(x_{N},x_{N+1}) \circ k(x_{N+1}))   \\
& & \hspace{5mm}\mbox{s. t.} \hspace{7mm} 
                 x_{n+1} \in A_{n}(x_{n}) [[利用者:Orsjwiki|Orsjwiki]] (1 \le n \le N),  
\end{eqnarray*}


の最大値 $ u_{1}(x_{1}) $ と最大点 $ x^{*} = (x_{1}, x_{2}^{*}, \ldots , x_{N+1}^{*}) $ を求めるには, 新たなパラメータ $ \lambda_{n} (\in \Lambda_{n}(x_{n})) $ を含む部分問題群 $ {\cal P} = \{ {\rm P}_{n}(x_{n};\lambda_{n}) \} $ :
%

\begin{eqnarray*}
& & \hspace{5mm} {\rm max.} \hspace{4mm}
                  \psi(\lambda_{n} \circ g_{n}(x_{n},x_{n+1}) \circ \cdots
 \circ g_{N}(x_{N},x_{N+1}) \circ k(x_{N+1}))   \\
& & \hspace{5mm}\mbox{s. t.} \hspace{7mm} 
                 x_{m+1} \in A_{m}(x_{m}) [[利用者:Orsjwiki|Orsjwiki]] (n \le m \le N), \\[2.34mm]
& & \hspace*{7.9mm} x_{n} \in X_{n},~~\lambda_{n}
   \in \Lambda_{n}(x_{n}),~~(1 \le n \le N+1),
\end{eqnarray*}
%

に埋め込むと, パラメータ空間列 $ \{\Lambda_{n}(\cdot)\} $ は前向きの再帰式


\begin{eqnarray}
& & \Lambda_{1}(x) = \{ \tilde{\lambda}\},~~x \in X_{1}[[利用者:Orsjwiki|Orsjwiki]] 2007年7月3日 (水) 17:29 (JST) (
 \tilde{\lambda}\ は\mbox{結合演算}~\circ~ \mbox{の左単位元})      
 \nonumber \\
& & \Lambda_{n+1}(y) = \{\, \lambda \circ g_{n}(x,\,y) \, | \, \lambda \in
 \Lambda_{n}(x),~y \in A_{n}(x) \, \}  \nonumber \\[-2.12mm]
& & \hspace*{40mm} y \in X_{n+1},~~ n = 1, 2, \ldots , N \nonumber 
\end{eqnarray}


で生成され, 最適値関数 $ u_{n} = u_{n}(x_{n};\lambda_{n}) $は次の後向き再帰式を満たす：


\begin{eqnarray}
& & u_{n}(x; \lambda) = \mathop{{\rm max}}_{y \in A_{n}(x)}u_{n+1}(\,y\,; 
\lambda \circ g_{n}(x,\,y))    \nonumber \\[-2.12mm]
& & \hspace*{40mm} x \in X_{n}, ~~\lambda \in \Lambda_{n}(x),~~ n = 1, 2,
 \ldots , N  \nonumber  \\
& & u_{N+1}(x; \lambda) = \psi(\lambda \circ k(x))2007年7月3日 (水) 17:29 (JST)~x \in
 X_{N+1},~~\lambda \in \Lambda_{N+1}(x).        \nonumber
\end{eqnarray}


これを後ろから逐次解き, 最後の $ u_{1}(x_{1};\lambda_{1}) $ に $ \lambda_{1} = \tilde{\lambda} $ を代入すると求める最大値が得られる： $ u_{1}(x_{1}) = u_{1}(x_{1};\tilde{\lambda}). $  

　また, [[非最適化]]問題としては, [[木の総容量]]など, 多重和 ([[多重和の解法]])


\begin{eqnarray}
{\rm S}_{1}(x_{1}):\hspace{-2.21mm}& & \sum
 \hspace{0.3mm}\sum\hspace{0.3mm}\cdots\hspace{0.3mm}\sum
_{\hspace{-21.1mm}(x_{2}, x_{3}, \cdots , x_{N+1}) \in P_{1}(x_{1})}
\hspace{-1.9mm}\psi(g_{1}(x_{1},x_{2}) \circ \cdots \circ
 g_{N}(x_{N},x_{N+1}) \circ k(x_{N+1}))\  \nonumber \\[2.34mm]
& & \hspace*{0.8mm}( P_{1}(x_{1}) := \{(x_{2}, \cdots , x_{N+1})\, |\,
 x_{n+1} \in A_{n}(x_{n})~~1 \le n \le N \}) \nonumber
\end{eqnarray}
を求める問題があって, やはりパラメータを含む埋め込みによって解くことができる. 

　このようなパラメータを導入した埋め込みは[[非可分性(動的計画法における)]] に起因し, [[単一評価系(多段決定過程における)]], [[複合評価系(多段決定過程における)]]の最適化, 期待値最適化, 多重和, 多重積分 ([[多重積分の解法]]) などで考えられる [2] [3]. 不変埋没原理は変数の離散と連続, システムの確定や確率やファジィ, 問題の最適と非最適を問わず, 歴史的には数学(微分方程式, 偏微分方程式の応用), 物理数学などで, また近年はコンピュータサイエンスで幅広く用いられている. 


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'''参考文献'''

[1] R. E. Bellman and E. D. Denman, ''Invariant Imbedding'', Lect. Notes in Operation Research and Mathematical Systems, Vol. 52, Springer-Verlag, Berlin, 1971.

[2] S. Iwamoto and T. Fujita, "Stochastic Decision-making in a Fuzzy Environment," ''Journal of the Operations Research Society of Japan'', '''38''' (1995), 467-482. 

[3] 岩本誠一,「不変埋没によるファジィ動的計画法」, 日本オペレーションズ・リサーチ学会第33回シンポジウム, 25-33, 1995. 

[4] E. S. Lee, ''Quasilinearization and Invariant Imbedding'', Academic Press, 1968. 

[5] 相良節夫, 杉坂政典,「Invariant Imbedding について」,『システムと制御』, '''17''' (1973), 596-601.