「多次元正規分布」の版間の差分

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'''【たじげんせいきぶんぷ (multivariate normal distribution)】'''
 
'''【たじげんせいきぶんぷ (multivariate normal distribution)】'''
  
代表的な多次元分布. 平均ベクトルを <math>\mathbf{\mu} =(\mathrm{E}(X_1), \ldots, \mathrm{E}(X_n)) \,</math>, (分散)共分散行列を <math>\mathbf{\Sigma}=(\mathrm{Cov}(X_i,X_j))_{i,j=1,\ldots,n} \,</math> とすると, <math>n \,</math> 次の多次元正規分布の確率密度関数は <math>\mathbf{x}=(x_1,\cdots,x_n) \,</math> として
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代表的な多次元分布. 平均ベクトルを <math>\boldsymbol{\mu} =(\mathrm{E}(X_1), \ldots, \mathrm{E}(X_n)) \,</math>, (分散)共分散行列を <math>\mathbf{\Sigma}=(\mathrm{Cov}(X_i,X_j))_{i,j=1,\ldots,n} \,</math> とすると, <math>n \,</math> 次の多次元正規分布の確率密度関数は <math>\boldsymbol{x}=(x_1,\cdots,x_n) \,</math> として
  
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<math>
 
<math>
f(\mathbf{x})=  
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f(\boldsymbol{x})=  
 
\displaystyle{\frac{1}{(2\pi)^{n/2} \sqrt{|\mathbf{\Sigma}|}} \mathrm{exp}
 
\displaystyle{\frac{1}{(2\pi)^{n/2} \sqrt{|\mathbf{\Sigma}|}} \mathrm{exp}
 
   \left[ - \frac{1}{2}  
 
   \left[ - \frac{1}{2}  
     (\mathbf{x}-\mathbf{\mu}) \mathbf{\Sigma}^{-1}
+
     (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}) \mathbf{\Sigma}^{-1}
     (\mathbf{x}-\mathbf{\mu})^{\top} \right] }
+
     (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{\top} \right] }
 
\,</math>
 
\,</math>
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で与えられる. ただし, <math>\boldsymbol{x}^{\top} \,</math> はベクトル <math>\boldsymbol{x} \,</math> の転置, <math>|\mathbf{\Sigma}| \,</math> は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.
  
で与えられる. ただし, <math>\mathbf{x}^{\top} \,</math> はベクトル <math>\mathbf{x} \,</math> の転置, <math>|\mathbf{\Sigma}| \,</math> は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.
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[[category:確率と確率過程|たじげんせいきぶんぷ]]

2008年11月12日 (水) 15:27時点における最新版

【たじげんせいきぶんぷ (multivariate normal distribution)】

代表的な多次元分布. 平均ベクトルを , (分散)共分散行列を とすると, 次の多次元正規分布の確率密度関数は として



で与えられる. ただし, はベクトル の転置, は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.