凸関数

【とつかんすう (convex function)】

空間 ${\bf R}^n$ 上で定義された拡張実数値関数 $f : {\bf R}^n \to [-\infty,+\infty]$ で, そのエピグラフ$\mbox{epi}\, f := \{ (x,\mu) \in {\bf R}^{n+1} \, | \,f(x) \le \mu \}$ が凸集合であるようなもの. 特に, $f(x) = -\infty$ となる点 $x$ が存在せず, さらに恒等的に $f(x) \equiv +\infty$ ではないようなものを真凸関数という. 真凸関数は様々の好ましい性質をもち, 最適化問題に現れる最も基本的な関数のクラスを構成する. 凸関数に関しては, 凸解析と呼ばれる美しい理論体系が整備されている.