ラグランジュ関数

【らぐらんじゅかんすう (Lagrangian function)】

非線形計画問題

\[ \begin{array}{lll}

  \mbox{min.} &  f_0(x) & \\
  \mbox{\rm{s.t.}} &  g_i(x) \le 0, & i=1,\dots,k, \\
                   &  h_j(x) = 0, & j=1,\dots,l

\end{array} \]

に対して次式で定義される関数 $L$ をラグランジュ関数という.

\[ L(x,\lambda,\mu):=f_0(x)+\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}g_{i}(x) +\sum_{j=1}^{l}\mu_{j}h_{j}(x) \]

また,

$(\lambda,\mu)=(\lambda_{1},\dots,\lambda_{k},\mu_{1},\dots,\mu_{l}) \in{{\bf R}^{k}_{+}\times{{\bf R}^{l}}}$をラグランジュ乗数と呼ぶ.

ラグランジュ関数は数理計画全般において重要な役割を果たす.