フェンシェルの双対性

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【ふぇんしぇるのそうついせい (Fenchel duality)】

2つの下半連続な真凸関数 $$ と $$, および $$, $$, $$ に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと.



\[

\]

ここで, ${}^*$ は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 $f_1(x)$ と凹関数 $f_2(x)$ の差で表した主問題 $\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}$ に対して, $\max_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}$ をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.