フェンシェルの双対性

【ふぇんしぇるのそうついせい (Fenchel duality)】

2つの下半連続な真凸関数 $$k:{\mathbf {R} }^{n}\to {\bar {\mathbf {R} }}$$ と $$h:{\mathbf {R} }^{m}\to {\bar {\mathbf {R} }}$$, および $構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A\in{{\bf R}^{m\times{n}}}} $, $構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b\in{{\bf R}^m}} $, $構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c\in{{\bf R}^n}} $ に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと.

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle{ \min_{x\in{{\bf R}^n}}\;\{c^{T}x+k(x)+h(b-Ax)\},} \\ \displaystyle{ \max_{y\in{{\bf R}^m}}\;\{b^{T}y-h^{*}(y)-k^{*}(A^{T}y-c)\} } \end{array}}

\[

\]

ここで, $${}^{*}$$ は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 $$f_{1}(x)$$ と凹関数 $$f_{2}(x)$$ の差で表した主問題 $\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}$ に対して, $$\max _{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}$$ をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.