【 らふしゅうごう (rough set) 】
同値関係 R {\displaystyle R} による x ∈ X {\displaystyle x\in X} の同値類を [ x ] R {\displaystyle [x]_{R}} と表すと， 集合 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} に対して， 上近似 R ∗ ( A ) = { x ∣ [ x ] R ∩ A ≠ ∅ } {\displaystyle R^{*}(A)=\{x\mid [x]_{R}\cap A\neq \emptyset \}} と 下近似 R ∗ ( A ) = { x ∣ [ x ] R ⊆ A } {\displaystyle R_{*}(A)=\{x\mid [x]_{R}\subseteq A\}} が得られる． 対 ⟨ R ∗ ( A ) {\displaystyle \langle R_{*}(A)} ， R ∗ ( A ) ⟩ {\displaystyle R^{*}(A)\rangle } を 集合 A {\displaystyle A} の R {\displaystyle R} -ラフ集合と呼ぶ． ラフ集合は，識別不能性による曖昧さをモデル化しており， 類別や近似に深く関係している． 決定や診断における不要な属性の発見， 属性間の依存性の発見など，独特な方法が提案され， 近似識別や機械学習，意思決定に応用されている．
![{\displaystyle [x]_{R}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d056fbad1d0b1c96edffb0fd0a1de8c2c00ec283)
![{\displaystyle R^{*}(A)=\{x\mid [x]_{R}\cap A\neq \emptyset \}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c061fa32613d1903f19fe5835d3dc58e2a437eda)
![{\displaystyle R_{*}(A)=\{x\mid [x]_{R}\subseteq A\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3f6da1b1b3033fc591ca8f7c3eae1dbdb15f1f)
