フラクタルブラウン運動

【 ふらくたるぶらうんうんどう (fractal Brownian motion) 】

平均が$0$となるように値をずらせた確率過程構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle X(t)} が ガウス過程， すなわち， 任意の正の整数$n$と任意の構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0 < t_{1} < \cdots < t_{n}} に 対して， 構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle X(t_{1}),X(t_{2}),\cdots ,X(t_{n})} の結合分布が 多次元正規分布に等しいとする． この確率過程は， 共分散が構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 0<H<1} を満たす定数構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle H} に対して，

構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle Cov(X(s),X(t))={\frac {1}{2}}(t^{2H}+s^{2H}-(t-s)^{2H}),\qquad t>s>0}

であるとき， ハースト定数構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle H} をもつ自己相似過程となる． この自己相似過程を， ハースト定数構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle H} をもつフラクタルブラウン運動と呼ぶ． 特に，構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle H={\frac {1}{2}}} ならばブラウン運動に等しい． 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle H > \frac 12} ならば構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle H} が大きいほど強い正の相関をもち，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0 < H < \frac 12} ならば負の相関をもつ．