自己相似過程

【 じこそうじかてい (self similar process) 】

有限次元実ベクトル値確率過程$\{Z(t); t \ge 0\}$が， ある$H > 0$と任意の正の数$a$に対して，

$\{Z(at);t\geq 0\}\cong \{a^{H}Z(t);t\geq 0\}$

を満たすならば， 自己相似過程（self similar process）であるという． ここに，$\cong$は分布が等しいことを表す． また，この$H$をハースト定数（Hurst parameter）と呼ぶ． 例えば，ブラウン運動は$H={\frac {1}{2}}$の自己相似過程である． 一般に，$\{Y(t)\}$が定常過程ならば，$Z(t)$を

$Z(t)=\left\{{\begin{array}{ll}0,\qquad &t=0,\\t^{H}Y(\log t),\qquad &t>0\end{array}}\right.$

により定義すれば， $\{Z(t)\}$は$H$をハースト定数とする自己相似過程である． これからわかるように， $H$が大きいほど自己相似過程のバラツキは大きくなる． 特に，$H>{\frac {1}{2}}$ならば，$Z(t)$の分散は発散する．