Perron-Frobenius定理

【 ペロン-フロベニウスていり(Perron-Frobenius Theorem) 】

Frobeniusにより明らかにされた非負行列の固有値の諸性質は数多くのFrobenius定理 として広く知られている．その中で，Perron-Frobenius定理は非負行列の絶対値 最大固有値の上下限を最適化問題の最適値として与えるものである．本定理は そもそもPerronが正行列に対して証明した内容をFrobeniusが非負行列にまで 拡張したものであり，その定理は以下の通りである．

非負構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n} 次正方行列構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle [a_{ij}]} は既約とする． 行列構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle [a_{ij}]} の絶対値最大固有値構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda} は構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda>0} であり、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda} に 対応する固有ベクトル構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle [z_1,\ldots,z_n]^{\top}} はスカラー倍を除いて一意である． ここで，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle ^{\top}} は転置を示す．さらに， 成分が全て正である任意の構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n} 次元ベクトル 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle [x_1,\ldots,x_n]^{\top}} に対して,

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \min_{i=1,\ldots,n} \left\{ \frac{\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j}{x_1} \cdots, \frac{\sum_{j=1}^n a_{nj}x_j}{x_n} \right\} \leq \lambda \leq \max_{i=1,\ldots,n} \left\{ \frac{\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j}{x_1} \cdots, \frac{\sum_{j=1}^n a_{nj}x_j}{x_n} \right\}}

が成立し，

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \max_{x_1>0,\ldots,x_n>0}\min_{i=1,\ldots,n} \left\{ \frac{\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j}{x_1}, \cdots, \frac{\sum_{j=1}^n a_{nj}x_j}{x_n} \right\} \quad= \lambda = \min_{x_1>0,\ldots,x_n>0} \max_{i=1,\ldots,n} \left\{ \frac{\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j}{x_1}, \cdots, \frac{\sum_{j=1}^n a_{nj}x_j}{x_n} \right\}}

が成立する．上式の構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle [x_1,\ldots,x_n]^{\top}} に関する最大化問題と最小化問題のいずれの 最適解も構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda} に対応する固有ベクトル構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle [z_1,\ldots,z_n]^{\top}} のスカラー倍に 限る．