《拡張型AHP》

【かくちょうがたえーえいちぴー (Extended AHP) 】

　AHPにおいて, 一対比較値を区間表現として, 区間値やファジィ数に拡張したものとして, 区間AHP (interval AHP), ファジィAHP (Fuzzy AHP)がある.

　一対比較値を区間表現を用いて拡張したAHPは, 区間の表現方法の違いで, 一般に2つに分けることができる.文献 [1, 2, 6] などでは, 一対比較の評価を単なる範囲で示しており「区間AHP」と呼ばれている.それに対し, 文献 [3, 4] などでは, 一対比較の評価をファジィ数で示していることから「ファジィAHP」と呼ばれている.

　AHPでは, 意思決定者に対して, 「要素$i\,$は要素$j\,$に比べてどのくらい重要ですか」というように一対比較を行なってもらった結果を数値化し, 一対比較値$a_{ij}\,$が設定される.区間AHPやファジィAHPでは, この一対比較の際に, 意思決定者のあいまいな判断を取り入れ, 一対比較値$a_{ij}\,$が区間値$[l_{ij},u_{ij}]\,$やファジィ数で表現される.区間AHPでは, 一対比較行列${\boldsymbol {A}}\,$は次のように表現される.

${\boldsymbol {A}}=\left[{\begin{array}{ccccc}{[l_{11},u_{11}]}&\cdots &[l_{1j},u_{1j}]&\cdots &[l_{1n},u_{1n}]\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\{[l_{i1},u_{i1}]}&\cdots &[l_{ij},u_{ij}]&\cdots &[l_{in},u_{in}]\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\{[l_{n1},u_{n1}]}&\cdots &[l_{nj},u_{nj}]&\cdots &[l_{nn},u_{nn}]\end{array}}\right]$

　この区間AHPをグループAHPに適用した方法が, 文献[7, 8] にあるので参照されたい.このグループAHPでは, 区間表現をあいまいな判断として利用するのではなく, 「容易に抵抗なく受け入れられる範囲(主張区間)」や, 「全メンバの意見を取り込んだ区間値(グループ一対比較値)」というように利用している点に特徴があると言える.

　ファジィAHPでは, 一対比較値$a_{ij}\,$がファジィ数となり, メンバーシップ関数を様々な形で設定できることもあり, 様々な表記がされている.詳しい記述は, 文献 [3, 4] などを参照してほしい.

　区間AHPやファジィAHPにおける重要度算出法について示す.一対比較値を区間値に拡張した区間AHPにおいて, 重要度を算出する方法は様々存在するが, 求める重要度が区間値であるか, 1つの値であるかで, 大きく2つに分けることができる.重要度を区間値として算出する方法として,幾何平均による算出方法 [5],数理モデルによる算出方法 [1, 2],シミュレーションによる算出方法 [6]などがあり,重要度を1つの値として算出する方法として, 区間値の中で整合度 (C.I.)を最小にする一対比較値から重要度を算出するCIミニマム法 [7, 8] がある.詳しい内容は, それぞれの文献などを参考にしてほしい.なお, CIミニマム法は文献 [7, 8] ではグループAHPにおいて提案されているが, 個人が行なう区間AHPにおいてもそのまま適用可能である.CIミニマム法は, 以下のモデルを解くことによって, 重要度を算出する.

${\begin{array}{lll}{\mbox{min.}}&{\displaystyle {\frac {\lambda -n}{n-1}},}\\{\mbox{s. t.}}&\displaystyle {\sum _{j=1}^{n}x_{ij}w_{j}=\lambda w_{i}}&(i=1,\ldots ,n),\\&x_{ij}x_{ji}=1&(i,j=1,\ldots ,n),\\&\displaystyle {\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1,}&\,\\&w_{i}>0&(i=1,\ldots ,n),\\&l_{ij}\leq x_{ij}\leq u_{ij}&(i,j=1,\ldots ,n).\,\end{array}}$

　制約条件の第1式は固有方程式の条件, 第2式は一対比較要素に関する逆数対称性の条件,第3式は重要度の正規化の条件, 第4式は重要度の正値条件, 第5式は一対比較値に関する区間の条件である.また, 目的関数は整合度C.I.である.なお, 固有方程式の条件において, ペロン・フロベニウスの定理 (Perron-Frobenius' theorem)から重要度が正値であるという条件のみで, $\lambda \,$が最大固有値$\lambda _{\rm {max}}\,$であることが保証されている.

　また, 一対比較値をファジィ数に拡張したファジィAHPにおいて, 重要度を算出する方法は, 通常の幾何平均法などの重要度算出法をもとに, ファジィ数の演算方式に従って, 重要度を算出しているのが一般的である.詳しい内容は, 文献 [3, 4] などを参考にしてほしい.

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参考文献

[1] A. Arbel, "0Approximate Articulation of Preference and Priority Derivation," European Journal of Operational Research, 43 (1989), 317-326.

[2] A. Arbel and L. G. Vargas, "The Analytic Hierarchy Process with Interval Judgements," in Multiple Criteria Decision Making, A. Goicoechea, L. Duckstein and S. Zionts, eds., Springer-Verlag, 1992, 61-70.

[3] J. J. Buckley, "Fuzzy Hierarchical Analysis," Fuzzy Sets and Systems, 17 (1985), 233-247.

[4] 川井宏哉, 稲積宏誠, 伊藤益敏, 「ファジィAHPにおける整合度 (C.I.)に関する研究」, 『日本オペレーションズ・リサーチ学会1992年春季研究発表会アブストラクト集』, 68-69, 1992.

[5] 小沢知裕, 山口俊和, 福川忠昭, 「区間AHPを用いるDEAの改良型領域限定法」, 『オペレーションズ・リサーチ』,　38 (1993), 471-476.

[6] T. L. Saaty and L. G. Vargas, "Uncertainty and Rank Order in the Analytic Hierarchy Process," European Journal of Operational Research, 32 (1987), 107-117.

[7] 山田善靖, 杉山学, 八卷直一, 「合意形成モデルを用いたグループAHP」, Journal of the Operations Research Society of Japan, 40 (1997), 236-244.

[8] 八卷直一, 山田善靖, 杉山学, 「非線形計画法の人事問題でのグループAHP法への適用」, Proceedings of the Eighth RAMP Symposium, 182-185, 1996.