フェンシェルの双対性

【ふぇんしぇるのそうついせい (Fenchel duality)】

2つの下半連続な真凸関数 $k:{\mathbf {R} }^{n}\to {\bar {\mathbf {R} }}$ と $h:{\mathbf {R} }^{m}\to {\bar {\mathbf {R} }}$, および $A\in {{\mathbf {R} }^{m\times {n}}}$, $b\in {{\mathbf {R} }^{m}}$, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c\in{{\mathbf R}^n}} に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと.

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle{ \min_{x\in{{\mathbf R}^n}}\;\{c^{T}x+k(x)+h(b-Ax)\},} \\ \displaystyle{ \max_{y\in{{\mathbf R}^m}}\;\{b^{T}y-h^{*}(y)-k^{*}(A^{T}y-c)\} } \end{array}}

ここで, ${}^{*}$ は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 $f_{1}(x)$ と凹関数 $f_{2}(x)$ の差で表した主問題 $\min _{x}\{f_{1}(x)-f_{2}(x)\}$ に対して, $\max _{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}$ をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.