【かくちょうらぐらんじゅかんすう (augmented Lagrangian function)】
関数 f : R n × R m → [ − ∞ , + ∞ ] {\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\times {\mathbf {R} ^{m}}\to [-\infty ,+\infty ]\,} に対して, ラグランジュ関数を拡張した, 次式で定義される2変数関数 L ¯ : R n × R m → [ − ∞ , + ∞ ] {\displaystyle {\bar {L}}:\mathbf {R} ^{n}\times {\mathbf {R} ^{m}}\to [-\infty ,+\infty ]\,} のこと.
L ¯ ( x , y ) := inf u ∈ R m { f ( x , u ) + r σ ( u ) − y ⊤ u } {\displaystyle {\bar {L}}(x,y):=\inf _{u\in {\mathbf {R} ^{m}}}\{\,f(x,u)+r\sigma {(u)}-y^{\top }u\,\}\,}
ただし, r {\displaystyle r\,} は正定数, σ : R m → R ¯ {\displaystyle \sigma :\mathbf {R} ^{m}\rightarrow {\bar {\mathbf {R} }}\,} は u ≠ 0 {\displaystyle u\neq {0}\,} に対して 0 = σ ( 0 ) < σ ( u ) {\displaystyle 0=\sigma {(0)}<\sigma {(u)}\,} を満足する下半連続な真凸関数(例えば, σ ( u ) := 1 / 2 ‖ u ‖ 2 {\displaystyle \sigma {(u)}:=1/2\|u\|^{2}\,} など). 関数 L ¯ {\displaystyle {\bar {L}}\,} を用いると, 非凸計画問題に対して双対性のギャップを解消できる場合がある.
![{\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\times {\mathbf {R} ^{m}}\to [-\infty ,+\infty ]\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb308f986923804b37febe5c69aa79da6d217a94)
に対して, ラグランジュ関数を拡張した, 次式で定義される2変数関数 ![{\displaystyle {\bar {L}}:\mathbf {R} ^{n}\times {\mathbf {R} ^{m}}\to [-\infty ,+\infty ]\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa9baa0107b3aeb2e48f89f8cf92406c46ff02c)
のこと.
は正定数, 
は 
に対して 
を満足する下半連続な真凸関数(例えば, 
など). 関数 
を用いると, 非凸計画問題に対して双対性のギャップを解消できる場合がある.