【とつかんすう (convex function)】
空間 R n {\displaystyle {\mathbf {R} }^{n}\,} 上で定義された拡張実数値関数 f : R n → [ − ∞ , + ∞ ] {\displaystyle f:{\mathbf {R} }^{n}\to [-\infty ,+\infty ]\,} で, そのエピグラフ epi f := { ( x , μ ) ∈ R n + 1 | f ( x ) ≤ μ } {\displaystyle {\mbox{epi}}\,f:=\{(x,\mu )\in {\mathbf {R} }^{n+1}\,|\,f(x)\leq \mu \}\,} が凸集合であるようなもの. 特に, f ( x ) = − ∞ {\displaystyle f(x)=-\infty \,} となる点 x {\displaystyle x\,} が存在せず, さらに恒等的に f ( x ) ≡ + ∞ {\displaystyle f(x)\equiv +\infty \,} ではないようなものを真凸関数という. 真凸関数は様々の好ましい性質をもち, 最適化問題に現れる最も基本的な関数のクラスを構成する. 凸関数に関しては, 凸解析と呼ばれる美しい理論体系が整備されている.
上で定義された拡張実数値関数 ![{\displaystyle f:{\mathbf {R} }^{n}\to [-\infty ,+\infty ]\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642b58b5abfee47cef01c8ed62e18546a1acfabe)
で, そのエピグラフ
が凸集合であるようなもの. 特に, 
となる点 
が存在せず, さらに恒等的に 
ではないようなものを真凸関数という. 真凸関数は様々の好ましい性質をもち, 最適化問題に現れる最も基本的な関数のクラスを構成する. 凸関数に関しては, 凸解析と呼ばれる美しい理論体系が整備されている.