多次元正規分布

【たじげんせいきぶんぷ (multivariate normal distribution)】

代表的な多次元分布. 平均ベクトルを 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \boldsymbol{\mu} =(\mathrm{E}(X_1), \ldots, \mathrm{E}(X_n)) \,} , (分散)共分散行列を 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{\Sigma}=(\mathrm{Cov}(X_i,X_j))_{i,j=1,\ldots,n} \,} とすると, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n \,} 次の多次元正規分布の確率密度関数は ${\boldsymbol {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n})\,$ として

$f({\boldsymbol {x}})=\displaystyle {{\frac {1}{(2\pi )^{n/2}{\sqrt {|\mathbf {\Sigma } |}}}}\mathrm {exp} \left[-{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})\mathbf {\Sigma } ^{-1}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})^{\top }\right]}\,$

で与えられる. ただし, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \boldsymbol{x}^{\top} \,} はベクトル 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \boldsymbol{x} \,} の転置, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle |\mathbf{\Sigma}| \,} は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.