【かいすうかんすう (rank function)】
独立集合族 I {\displaystyle {\mathcal {I}}\,} をもつ N {\displaystyle N\,} 上のマトロイド M = ( N , I ) {\displaystyle \mathbf {M} =(N,{\mathcal {I}})\,} において, ρ ( X ) = max { | I | ∣ I ⊆ X , I ∈ I } {\displaystyle \rho (X)=\max\{|I|\mid I\subseteq X,\,I\in {\mathcal {I}}\}\,} で定められる関数 ρ : 2 N → Z {\displaystyle \rho :2^{N}\to \mathbf {Z} \,} を階数関数という. 階数関数 ρ {\displaystyle \rho \,} は次の (R0)--(R3) を満たしている:
(R0) ρ ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \rho (\emptyset )=0\,} ,
(R1) ∀ X ⊆ N {\displaystyle \forall X\subseteq N\,} : ρ ( X ) ≤ | X | {\displaystyle \rho (X)\leq |X|\,} ,
(R2) X ⊆ Y ⇒ ρ ( X ) ≤ ρ ( Y ) {\displaystyle X\subseteq Y\Rightarrow \rho (X)\leq \rho (Y)\,} ,
(R3) ∀ X , Y ⊆ N {\displaystyle \forall X,Y\subseteq N\,} : ρ ( X ) + ρ ( Y ) ≥ ρ ( X ∩ Y ) + ρ ( X ∪ Y ) {\displaystyle \rho (X)+\rho (Y)\geq \rho (X\cap Y)+\rho (X\cup Y)\,} .
逆に, (R0)-(R3) を満たす関数 ρ {\displaystyle \rho \,} によってマトロイドを定義することもできる.
をもつ
上のマトロイド 
において, 
で定められる関数 
を階数関数という. 階数関数 
は次の (R0)--(R3) を満たしている:
,
: 
,
,
: 
.
によってマトロイドを定義することもできる.