【そうせんけいけいかくもんだい (bilinear programming problem)】
2種類の変数 x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\,} , y = ( y 1 , … , y m ) {\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{m})\,} の一方の値を固定すると線形計画問題になる2次の最適化問題:
min. c ⊤ x − x ⊤ Q y + d ⊤ y s.t. x ∈ X , y ∈ Y . {\displaystyle {\begin{array}{lll}{\mbox{min.}}&\mathbf {c} ^{\top }\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\top }\mathbf {Q} \mathbf {y} +\mathbf {d} ^{\top }\mathbf {y} \\{\mbox{s.t.}}&\mathbf {x} \in X,&\mathbf {y} \in Y.\end{array}}\,}
ただし, c ∈ R n {\displaystyle \mathbf {c} \in \mathbf {R} ^{n}\,} , d ∈ R m {\displaystyle \mathbf {d} \in \mathbf {R} ^{m}\,} , Q ∈ R n × m {\displaystyle Q\in \mathbf {R} ^{n\times m}\,} で X ⊂ R n {\displaystyle X\subset \mathbf {R} ^{n}\,} , Y ⊂ R m {\displaystyle Y\subset \mathbf {R} ^{m}\,} は凸多面体. 2次の凹最小化問題は, 行列 Q {\displaystyle \mathbf {Q} \,} が正方, 対称正定値な双線形計画問題に等価である.
,
の一方の値を固定すると線形計画問題になる2次の最適化問題:
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で
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は凸多面体. 2次の凹最小化問題は, 行列
が正方, 対称正定値な双線形計画問題に等価である.