多次元正規分布

【たじげんせいきぶんぷ (multivariate normal distribution)】

代表的な多次元分布. 平均ベクトルを $\mathbf {\mu } =(\mathrm {E} (X_{1}),\ldots ,\mathrm {E} (X_{n}))\,$, (分散)共分散行列を $\mathbf {\Sigma } =(\mathrm {Cov} (X_{i},X_{j}))_{i,j=1,\ldots ,n}\,$ とすると, $n\,$ 次の多次元正規分布の確率密度関数は $\mathbf {x} =(x_{1},\cdots ,x_{n})\,$ として

構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(\mathbf {x} )=\displaystyle {{\frac {1}{(2\pi )^{n/2}{\sqrt {|\mathbf {\Sigma } |}}}}\mathrm {exp} \left[-{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } )\mathbf {\Sigma } ^{-1}(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } )^{\top }\right]}\,}

で与えられる. ただし, $\mathbf {x} ^{\top }\,$ はベクトル $\mathbf {x} \,$ の転置, $|\mathbf {\Sigma } |\,$ は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.