多重積分の解法

【たじゅうせきぶんのかいほう (solution of multiple integral)】

多重積分を累次(繰り返し)積分で解くこと:

\[ \displaystyle{ \int_Df(x)\mbox{d}x = } \displaystyle{\int_{D_{1}} \int_{D_{2}(x_1)} \cdots

 \int_{D_{N}(x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{N-1})} } 

\displaystyle{f(x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{N})

 \mbox{d}x_N \cdots \mbox{d}x_2\mbox{d}x_1 }

\]

は $ f = f_N $ から始まる後向きの再帰(漸化)式

\[ \displaystyle{ f_{n-1}(x_{1}, \cdots , x_{n-1}) = } \displaystyle{\int_{D_{n}(x_{1}, \cdots , x_{n-1})}

 f_n(x_{1}, \cdots , x_{n})\mbox{d}x_n, \: 1 \le n \le N}

\]

を解くことに他ならない.