フェンシェル型双対定理

【ふぇんしぇるがたそうついていり (Fenchel-type duality theorem)】

フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組$(f,g)$とそれらの共役関数の組$(f\sp{\bullet}, g\sp{\circ})$の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, $\langle p, x \rangle = \sum_{i=1}\sp{n}p_{i}x_{i}$として, 以下の形の主張となる.

\[ \begin{array}{l}

  \inf\{ f(x) - g(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n}  \} = \\
 \hspace*{10mm} \sup\{ g\sp{\circ}(p) - f\sp{\bullet}(p)   
 \mid   p \in {\bf Z}\sp{n} \} , \\
f\sp{\bullet}(p) 
= \sup\{  \langle p, x \rangle - f(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \}
\: ( p \in {\bf Z}\sp{n}) , \\
g\sp{\circ}(p) 
= \inf\{  \langle p, x \rangle - g(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \}
\: ( p \in {\bf Z}\sp{n}) .

\end{array} \]