自己整合障壁関数

【じこせいごうしょうへきかんすう (self-concordant barrier function)】

以下の条件を満たす開凸領域 $F\subseteq {\bf R}^n$ 上の実数値関数 $g$. \vspace{-0.6zw} \begin{enumerate} \item[(1)] 任意の $\bar{x}\in\partial F$ に収束する$F$ の任意の点列 $\{ x^k \}$ に対し,$k\rightarrow \infty$ で $g(x^k)\rightarrow\infty$ となる. \item[(2)] 任意の $x\in F$ において, 任意の方向 $h\in {\bf R}^n$ に対して, 次が成り立つ.

\[ \begin{array}{l}

\displaystyle{\left|\sum_{i,j,k}\frac{\partial^3 g}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}(x)
h_i h_j h_k \right| \leq } \\

\hspace*{20mm} \displaystyle{2 \left|\sum_{i,j}\frac{\partial^2 g}{\partial x_i\partial x_j}(x)

h_i h_j \right|^{3/2},} \\[1.4em]
\displaystyle{\left(
  \sum_{i} \frac{\partial g}{\partial x_i}(x) h_i
\right)^2
 \leq \nu \sum_{i,j}\frac{\partial^2 g}{\partial x_i\partial x_j}(x)h_ih_j.}

\end{array} \] \end{enumerate}