《SBMモデル》

【SBMもでる (slacks-based measure model) 】

　加法モデルの目的関数の値は評価尺度の大きさの影響を受け, また, 値の範囲も限定されていないので, 目的関数の値だけで, 効率性を議論しにくい. そこで, 刀根は測定単位に依存せず, スラックの関して単調減少する尺度を用いた次のSBM (Slacks-Based Measure)モデルを提案した [1].

SBMモデル

目的	$\min \rho ={\frac {\displaystyle 1-{\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}s_{i}^{-}/x_{io}}{\displaystyle 1+{\frac {1}{s}}\sum _{r=1}^{s}s_{r}^{+}/y_{ro}}}\,$
制約	$X{\mathbf {\lambda } }+{\mathbf {s} }^{-}=\mathbf {x} _{o}\,$
	$Y\mathbf {\lambda } -\mathbf {s} ^{+}=\mathbf {y} _{o}\,$
	$\mathbf {\lambda } \geq \mathbf {0} ,\ \mathbf {s} ^{-}\geq \mathbf {0} ,\ \mathbf {s} ^{+}\geq \mathbf {0} \,$

ただし, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{e}^{t} \mbox{\mathbf\lambda}\, } の制約は除いている. また, すべてのデータは正であることを仮定している. 目的関数の右辺の分母, 分子に$\phi \,$を掛けて分母が1になるようにすると, この問題は分子の最小化問題となり, 次のように定式化できる.

目的	$\min \rho =\phi -{\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}\phi s_{i}^{-}/x_{io}\,$
制約	$\phi +{\frac {1}{s}}\sum _{r=1}^{s}\phi s_{r}^{+}/y_{ro}=1\,$
	構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X \mathbf{\lambda}} + \mathbf{s}^{-} = \mathbf{x}_{o}\, }
	$Y\mathbf {\lambda } -\mathbf {s} ^{+}=\mathbf {y} _{o}\,$
	$\mathbf {\lambda } \geq \mathbf {0} ,\ \mathbf {s} ^{-}\geq \mathbf {0} ,\ \mathbf {s} ^{+}\geq {\mathbf {0} }\,$

制約の第2式, 第3式の両辺に$\phi \,$ を掛けて, $\phi s_{i}^{-}=\alpha _{i},\ \phi s_{r}^{+}=\beta _{r},\phi \lambda _{j}=\gamma _{j}\,$ と置くと

目的	$\min \rho =\phi -{\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}/x_{io}\,$
制約	$\phi +{\frac {1}{s}}\sum _{r=1}^{s}\beta _{r}/y_{ro}=1\,$
	$\sum _{j=1}^{n}x_{ij}\gamma _{j}+\alpha _{i}=\phi x_{io}\ \ (i=1,2,\ldots ,m)\,$
	$\sum _{j=1}^{n}y_{rj}\gamma _{j}-\beta _{r}=\phi y_{ro}\ \ (r=1,2,\ldots ,s)\,$
	$\alpha _{i}\geq 0\ (i=1,\ldots ,m),\ \ \beta _{r}\geq 0\ (r=1,\ldots ,s),\ \ \gamma _{j}\geq 0\ (j=1,\ldots ,n),\ \ \phi \geq 0\,$

となり, $\alpha _{i}\ (i=1,\ldots ,m),\ \ \beta _{r}\ (r=1,\ldots ,s),\ \ \gamma _{j}\ (j=1,\ldots ,n),\ \ \phi \,$に関するLPとして解くことが出来る.

　分母を1と置いて分子の最小化を図ったが, 分子を1と置いて分母の最大化を図ることも考えられる. その場合には

目的	$\max \rho ^{-1}=\phi +{\frac {1}{s}}\sum _{r=1}^{s}\beta _{r}/y_{ro}\,$
制約	$\phi -{\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}/x_{io}=1\,$
	$\sum _{j=1}^{n}x_{ij}\gamma _{j}+\alpha _{i}=\phi x_{io}\ \ (i=1,2,\ldots ,m)\,$
	$\sum _{j=1}^{n}y_{rj}\gamma _{j}-\beta _{r}=\phi y_{ro}\ \ (r=1,2,\ldots ,s)\,$
	$\alpha _{i}\geq 0\ (i=1,\ldots ,m),\ \ \beta _{r}\geq 0\ (r=1,\ldots ,s),\ \ \gamma _{j}\geq 0\ (j=1,\ldots ,n),\ \ \phi \geq 0\,$

である.

　入出力$({\mathbf {x} }_{o},{\mathbf {y} }_{o})\,$ を持つDMU $O\,$ は $\rho \,$ の最適(最小)値$\rho ^{*}\,$ が 1 の場合に限りSBM効率的であると言われる.

　刀根は, さらにSBM効率的なDMU $O\,$ に対して1以上の効率値を与えることのできる次のSuperSBMモデルを提案している [2].

SuperSBMモデル

目的	$\delta ^{*}=\min \delta ={\frac {\displaystyle {\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}{\bar {x}}_{i}/x_{io}}{\displaystyle {\frac {1}{s}}\sum _{r=1}^{s}{\bar {y}}_{r}/y_{ro}}}\,$
制約	${\bar {x}}_{i}\geq \sum _{j=1\wedge j\neq o}^{n}\lambda _{j}x_{ij}\ \ (i=1,2,\ldots ,m)\,$
	${\bar {y}}_{r}\leq \sum _{j=1\wedge j\neq o}^{n}\lambda _{j}y_{rj}\ \ (r=1,2,\ldots ,s)\,$
	${\bar {x}}_{i}\geq x_{io}\ \ (i=1,2,\ldots ,m)\,$
	$0\leq {\bar {y}}_{r}\leq y_{ro}\ \ (r=1,2,\ldots ,s)\,$
	$\lambda _{j}\geq 0\,$

　超効率値$\delta ^{*}\,$も単位不変である（測定単位の影響を受けない）.

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参考文献

[1] K. Tone, "A Slacks-based Measure of Efficiency in Data Envelopment Analysis," European Journal of Operational Research, 130 (2001), 498-509.

[2] K. Tone, "A Slacks-based Measure of Super-efficiency in Data Envelopment Analysis," European Journal of Operational Research, 143 (2002), 32-41.