コルモゴロフの前進方程式

【こるもごろふのぜんしんほうていしき (Kolmogorov's forward equation)】

$\{ X(t) \}$ を離散状態空間 ${\cal S}$ 上の連続時間マルコフ連鎖とし, その推移確率を$p_{ij}(s,t)=\mbox{P}(X(t)=j|X(s)=i)$, 時点 $t$ での推移速度行列を $\mbox{\boldmath$Q$}(t)=(q_{ij}(t))$ とするとき, ある条件の下で $p_{ij}(s,t)$ が満たす次の微分方程式のこと.

\[

 \frac{\partial p_{ij}(s,t)}{\partial t}
 = \sum_{k \in {\cal S}} p_{ik}(s,t)q_{kj}(t).

\]