オルンシュタイン・ウーレンベック過程

【おるんしゅたいんうーれんべっくかてい (Ornstein-Uhlenbeck process)】

$\{B(t)\}_{t\geq 0}\,$ をブラウン運動とするとき, ランジュバン (Langevin) の方程式と呼ばれる確率微分方程式~構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathrm{d} U(t) = -\alpha\,U(t)\,\mathrm{d} t + \sigma\,\mathrm{d} B(t) \,} (構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \alpha>0 \,} , $\sigma >0\,$) の解

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle U(t) = \mathrm{e}^{-\alpha t}\, \Bigl(U(0) + \sigma\int_0^t\mathrm{e}^{\alpha s}\,\mathrm{d} B(s)\Bigr) \,}

によって表される確率過程~構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \{U(t)\}_{t \ge 0} \,} . この確率過程は連続な標本路をもつマルコフ過程であり, $U(0)=x\,$ のもとで正規型の定常分布~構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{N}(x,\sigma^2/(2\,\alpha)) \,} をもつ.