一般化ニュートン法

【いっぱんかにゅーとんほう (generalized Newton method)】

滑らかでないベクトル値関数 $F:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}\,$ に対して方程式 $F(x)=0\,$ を解く場合, 一般化ニュートン法が提案されている. 例えば, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F \,} が局所リプシッツ(Lipschitz)連続ならば点 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x \,} における $F\,$ の一般化ヤコビ行列の1つとして

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \partial F(x) := \mbox{co} \left\{ \lim_{x_i\to x,\ x_i\in D_F} \nabla F(x_i) \right\}\ \ \,}

${\Bigl (}\,$

$D_{F}\,$ は $F(x)\,$が微分可能な点の集合, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathrm{co} \,} は集合の凸包を表す

${\Bigr )}\,$

が定義され, 一般化ニュートン法の反復式は次式で与えられる.

$x_{k+1}:=x_{k}-J_{k}^{-1}F(x_{k}),\qquad J_{k}\in \partial F(x_{k})\,$