ガウス・ザイデル法

【がうすざいでるほう (Gauss-Seidel method)】

(線形)方程式系を数値的に解くための反復法の1つ. 例えば, $n$ 次元ベクトル $\mbox{\boldmath$b$}=(b_1,\ldots,b_n)$ と $n$ 次の正方行列 $\mbox{\boldmath$A$}=( a_{ij} )$ に対して, $\mbox{\boldmath$b$}=\mbox{\boldmath$x$}\mbox{\boldmath$A$}$ を満たす $\mbox{\boldmath$x$} =(x_1,\ldots,x_n)$ を求める場合, 適当な $\mbox{\boldmath$x$}^{(0)} =(x_1^{(0)},\ldots,x_n^{(0)})$ から始めて

\[ \displaystyle{ x_j^{(k)} = \frac{b_j - \sum_{i=1}^{j-1} x_i^{(k)} a_{ij}

                     - \sum_{i=j+1}^{n} x_i^{(k-1)} a_{ij}}{a_{jj}},}

\] \[

 \hspace*{45mm} j=1,\ldots,n

\]

によって順次 $\mbox{\boldmath$x$}^{(k)} =(x_1^{(k)},\ldots,x_n^{(k)})$ を生成し, 収束した時点で $\mbox{\boldmath$x$}=\mbox{\boldmath$x$}^{(k)}$ とする.