階数関数

【かいすうかんすう (rank function)】

独立集合族$\cal I$をもつ$N$上のマトロイド ${\bf M}=(N,{\cal I})$ において, $\rho(X)=\max\{|I|\mid I\subseteq X,\, I \in{\cal I}\}$ で定められる関数 $\rho:2^N\to{\bf Z}$ を階数関数という. 階数関数 $\rho$ は次の (R0)--(R3) を満たしている: (R0) $\rho(\emptyset)=0$, (R1) $\forall X\subseteq N$: $\rho(X)\leq |X|$, (R2) $X\subseteq Y \Rightarrow \rho(X)\leq\rho(Y)$, (R3) $\forall X,Y\subseteq N$: $\rho(X)+\rho(Y)\geq\rho(X\cap Y)+\rho(X\cup Y)$. 逆に, (R0)-(R3) を満たす関数 $\rho$ によってマトロイドを定義することもできる.