オルンシュタイン・ウーレンベック過程

【おるんしゅたいんうーれんべっくかてい (Ornstein-Uhlenbeck process)】

$\{B(t)\}_{t\ge0}$ をブラウン運動とするとき, ランジュバン (Langevin) の方程式と呼ばれる確率微分方程式~$\mathrm{d} U(t) = -\alpha\,U(t)\,\mathrm{d} t + \sigma\,\mathrm{d} B(t)$($\alpha>0$, $\sigma>0$) の解

\[

 U(t) = \mathrm{e}^{-\alpha t}\,
        \Bigl(U(0) + \sigma\int_0^t\mathrm{e}^{\alpha s}\,\mathrm{d} B(s)\Bigr)

\]

によって表される確率過程~$\{U(t)\}_{t \ge 0}$. この確率過程は連続な標本路をもつマルコフ過程であり, $U(0)=x$ のもとで正規型の定常分布~$\mbox{N}(x,\sigma^2/(2\,\alpha))$ をもつ.