拡張ラグランジュ関数

【かくちょうらぐらんじゅかんすう (augmented Lagrangian function)】

関数 $f:\mboxテンプレート:\bf R^n\times{\mboxテンプレート:\bf R^m}\to [-\infty,+\infty]$ に対して, ラグランジュ関数を拡張した, 次式で定義される2変数関数 $\bar{L}:\mboxテンプレート:\bf R^n\times{\mboxテンプレート:\bf R^m}\to [-\infty,+\infty]$ のこと.

\[ % \bar{L}(x,y):=\inf_{u\in{\mboxテンプレート:\bf R^m}}\{\, f(x,u)+r\sigma{(u)}-y^{T}u\,\} \bar{L}(x,y):=\inf_{u\in{\mboxテンプレート:\bf R^m}}\{\, f(x,u)+r\sigma{(u)}-y^{\top}u\,\} \]

ただし, $r$ は正定数, $\sigma:\mboxテンプレート:\bf R^{m}\rightarrow\bar{\mboxテンプレート:\bf R}$ は $u\neq{0}$ に対して $0=\sigma{(0)}<\sigma{(u)}$ を満足する下半連続な真凸関数(例えば, $\sigma{(u)}:=1/2\|u\|^{2}$ など). 関数 $\bar{L}$ を用いると, 非凸計画問題に対して双対性のギャップを解消できる場合がある.