一般化ニュートン法
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【いっぱんかにゅーとんほう (generalized Newton method)】
滑らかでないベクトル値関数 $F: \mboxテンプレート:\bf R^n\to \mboxテンプレート:\bf R^n$ に対して方程式 $F(x)=0$ を解く場合, 一般化ニュートン法が提案されている. 例えば, $F$ が局所リプシッツ(Lipschitz)連続ならば点 $x$ における $F$ の一般化ヤコビ行列の1つとして
\[
\partial F(x) := \mbox{co} \left\{ \lim_{x_i\to x,\ x_i\in D_F}
\nabla F(x_i) \right\}\ \
\]
\[
\left(
\begin{array}{l} D_F\ は F(x) が微分可能な点の集合, \\
\rm{co} は集合の凸包を表す \end{array}\right)
\]
が定義され, 一般化ニュートン法の反復式は次式で与えられる.
\[
x_{k+1} := x_k - J_k^{-1}F(x_k), \qquad
J_k \in \partial F(x_k)
\]