《バス(Bass)モデル》

【ばすもでる (Bass model) 】

　F. M. Bassによって提案された新製品, 特に耐久消費財の拡散過程を模擬するモデルをBassモデルと呼ぶ. F. M. Bassは, 「時点{\it t}までの未購入者が耐久消費財を期間 ({\it t},\begin{math}t+\Delta t\end{math}) に購入する確率\begin{math}h(t)\Delta t\end{math}は他人にまどわされない購入意欲(innovation効果)と既購入者数$x_t$がふえてくると乗り遅れまいとする気持ち(imitation効果) との和で表現される」と考え, 以下のようなモデルを提案した [1].

　{\it m}を総需要とする. 時点{\it t}までに購入している人の割合を 　 \begin{displaymath} F(t)=\int_{-\infty}^{t}f(\tau) {\mbox{\rm d}}\tau =x_{t}/m \end{displaymath}

とし, {\it t} まで未購入の条件付確率密度関数を

\begin{equation} h(t)=f(t)/\{1-F(t)\}=a+{\frac{b}{m}}x_{t} \label{B-H-08+siki1} \end{equation} \begin{equation} \lim_{t \rightarrow \infty}x_{t}=m \label{B-H-08+siki2} \end{equation} \begin{equation} m \cdot f(t)=\frac{{\mbox{\rm d}}x_{t}}{{\mbox{\rm d}}t} \label{B-H-08+siki3} \end{equation}

とモデル化して, {\it a}は innovation効果, \begin{math}(b\cdot x_t/m)\end{math}

はimitation効果を表わすものとしている. 式(1)は式(2), (3)を使うと

\begin{equation} \frac{{\mbox{\rm d}}x_{t}/{\mbox{\rm d}}t}{m-x_t}= a+{\frac{b}{m}}x_{t} \label{B-H-08+siki4} \end{equation}

あるいは

\begin{equation} {\mbox{\rm d}}x_{t}/{\mbox{\rm d}}t= (m-x_{t})(p_{1}+q_{1} x_{t}) \label{B-H-08+siki5} \end{equation} \begin{displaymath} p_{1}=a, q_{1}=b/m \end{displaymath}

と表現できる. これを解くと

\begin{displaymath} x_{t}=m[1-c_{0}\exp \{-(a+b)t\}]/[\frac{b}{a} c_{0}\exp \{-(a+b)t\}+1] \end{displaymath}

ただし, $x_0$：時点0での既購入者数

\begin{displaymath} c_{0}=(m- x_{0})/(m+{\frac{b}{a}} x_{0}) \end{displaymath}

である($x_{0}=0$,すなわち$c_{0}=1$を標準モデルとすることもある). 式 (5)で $p_{1}=0$ のとき

\begin{displaymath} {\mbox{\rm d}}x_{t}/{\mbox{\rm d}}t=x_{t}(mq_{1}-q_{1} x_{t}) \end{displaymath}

となり, Bassモデルはロジスティックモデルを包含していると言える.

$f(t)$ または ${\mbox{\rm d}}x_{t}/{\mbox{\rm d}}t$ は \begin{displaymath} t^{*}=-\frac{1}{a+b}\log \frac{a}{bc_{0}};b>a \end{displaymath}

で最大となり, そのときの$x_{t^{*}}$は　

\begin{displaymath} x_{t^{*}}=m(b-a)/(2b) \end{displaymath}

である.

　本モデルの拡張版として

　1. {\it m}が時点とともに変化するモデルあるいは価格の関数となるモデル

　2. 式(4)の右辺が, 時点{\it t}や広告費などの商品に対する情報に関連する量の関数となるモデル

　3. 式(5)の右辺に価格{\it P}({\it t})のペナルティを課して

\begin{displaymath} {\mbox{\rm d}}x_{t}/{\mbox{\rm d}}t=(m-x_{t})(p_{1}+q_{1} x_{t}) {\exp \{-k \cdot P(t)\}} \end{displaymath}

とするモデル

　4. 企業間の競合を考慮したモデル

などが考えられている. しかし, Bass自身はモデルを複雑化することには批判的 [2]である.

　Bassモデルのパラメタについては, 微分を単位期間当たりの増分としてとらえ, 式(5)の右辺を展開して定数項および$x_t$, $x_{t}^{2}$の係数を最小自乗法により推定する方法が [1] では提案された. これについては係数推定の不安定さがあり, 最尤法なども提案されているが, Bassモデルを適用したい局面はデータ数にあまり期待できない時点であり, 最大需要{\it m}を別途推定したり, 類似サービスのパラメタを参考にすることなどが必要である.

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参考文献

[1] F. M. Bass, "A New Product Growth Model for Consumer Durables," Management Science, 15 (1969), 215-227.

[2] F. M. Bass, "The Adoption of a Marketing Model : Comments and Observations," in Innovation Diffusion Models of New Product Acceptance, V. Mahajan and Y. Wind, eds., Ballinger, 1986.

[3] V. Mahajan, E. Muller and F. M. Bass,in Marketing, J. Eliashberg and G. L. Lilien, eds., Elsevier Science Publishers, 1993. 森村英典, 岡太彬訓, 木島正明, 守口剛 監訳, 『マーケティング ハンドブック』, 第8章, 朝倉書店, 1997.