《金利変動モデルと債券価格》

【きんりへんどうもでるとさいけんかかく (interest rate model and bond price)】

　金利変動モデル(interest rate model)を仮定することによって, 債券の理論価格を求めることができる. 以下, $(\Omega, {\cal F}, P, {\cal F}_t )$をフィルトレーション付き確率空間, $T_0 < \infty$をtime horizon とし, $P(t,T)$を時刻$T$を満期とする割引債の時刻$t$での価格とする($0 \leq t \leq T \leq T_0$).

　確率1で, 各$t$毎に$P(t,T)$は$T \in (t, T_0]$について微分可能かつ連続でその微分値は$T\in (t, T_0]$について有界とする. このとき時刻$t$における, 時刻$T$からの(瞬間的な)フォワードレート$f(t,T)$は, $\displaystyle - \frac{\partial \log P(t,T)}{\partial T}$で定義される. 逆に, フォワードレート$f(t,T)$, $0 \leq t \leq T \leq T_0$が与えられたとき, 債券価格$P(t,T)$は, 定義から$P(t,T)=\exp (-\int_t^T f(t,s)\mbox{d}s)$となる. Heath, Jarrow, Morton[2]は, フォワードレート$f(t,T)$が次の確率微分方程式

$$ \mbox{d}f(t,T)=\alpha(t,T)\mbox{d}t + \sum_{n=1}^{N} \sigma_n(t,T)\mbox{d}B^n_t $$

(但し$\alpha(t,T)$, $\sigma_n(t,T)$は${\cal F}_t$適合な確率過程, $B^n_t$は標準ブラウン運動($n=1, 2, \ldots, N)$) に従うと仮定して金利変動モデルのかなり一般的な枠組みを与えた.

　$\displaystyle r_t = \lim_{T \downarrow t} f(t,T)$をスポットレートという. スポットレートの変動を確率過程としてモデル化したものはスポットレートモデルと呼ばれ, その下では, 債券価格$P(t,T)$は$P(t,T)=E^Q[\exp (-\int_t^T r_s \mbox{d}s)| {\cal F}_t] $となる. ただし, $E[\cdot]$は同値マルチンゲール測度$Q$の下での期待値を表す.

　スポットレートモデルの代表例として, Vasicek[4]は, $r_t$が確率過程

$$ \mbox{d}r_t = (\phi - ar_t)\mbox{d}t + \sigma \mbox{d}B_t $$

($\phi$, $a$, $\sigma$は定数)に従うとするモデル(Vasicek モデル)を立てた. またCox, Ingersoll, Ross [1]は, $r_t$が確率過程

$$ \mbox{d}r_t = (\phi - ar_t)\mbox{d}t + \sigma \sqrt{r_t} \mbox{d}B_t $$

に従うとするモデル(C.I.R.モデル)を立てた.

　これらのモデルの下では, 時刻$T$を満期とする割引債価格の満たす確率微分方程式は,

$$ \frac{\mbox{d}P(t,T)}{P(t,T)} = \mu^T(r_t,t)\mbox{d}t + \sigma^T(r_t,t) \mbox{d}B_t $$

と書けるが, このとき$\displaystyle \lambda_t=\frac{\mu^T(r_t,t)-r_t}{\sigma^T(r_t,t)}$は$T$には依らないことが示される. この$\lambda_t$はリスクの市場価値と呼ばれる. リスクの市場価値$\lambda_t$を既知とするとき, 同値マルチンゲール測度$Q$は

$$ \frac{\mbox{d}Q}{\mbox{d}P} =

\exp \left( -\int_0^{T_0} \lambda_t \mbox{d}B_t 
 - \frac{1}{2}\int_0^{T_0} \lambda_t^2  \mbox{d}t \right)$$ 

で与えられる. Vasicekモデルの割引債価格は

\begin{eqnarray*} P(t,T) &=&A(T-t) \mbox{e}^{-B(T-t)r(t)} \\ B(t)&=&\frac{1-\mbox{e}^{-at}}{a} \\ A(t)&=&\exp \{-\frac{(B(t)-t)(a^2\bar{\phi}-\sigma^2/2)}{a^2}

                                -\frac{\sigma^2B^2(t)}{4a} \}\\

\bar{\phi} &=& \frac{\phi -\sigma\lambda}{a} \end{eqnarray*}

となり, C.I.R.モデルの割引債価格は

\begin{eqnarray*} P(t,T) &=&A(T-t) \mbox{e}^{-B(T-t)r(t)} \\ B(t)&=&\frac{ 2(\mbox{e}^{-\gamma t}-1)}{(a+\gamma)(\mbox{e}^{-\gamma t}-1)+2\gamma} \\ A(t)&=&\left[\frac{ 2\gamma \mbox{e}^{(a+\gamma)t/2}}{(a+\gamma)(\mbox{e}^{-\gamma t}-1)+2\gamma}

  \right] ^{2a\bar{\phi}/\sigma^2}\\

\gamma &=& \sqrt{a^2 + 2\sigma^2} \\ \bar{\phi} &=& \frac{\phi -\sigma \sqrt{r_t}\lambda}{a} \end{eqnarray*}

となる.

　HullとWhite[3]はVasicek モデルにおけるパラメータ$\phi$を時刻$t$の確定的な関数として拡張することにより, 市場で観測される\yougolink{CG06}{イールドカーブ}{イールドカーブ}(yield curve)に整合するモデルを提唱した. 具体的には次の通り. $y(t),0\leq t \leq T_0$を割引債利回りのカーブとし, $t$について2階微分可能と仮定する. このモデルでは, $r_t$は同値マルチンゲール測度$Q$の下で

\begin{eqnarray*}

 \mbox{d}r_t   &=& (\phi (t)-a(t)r_t)\mbox{d}t+\sigma(t) \mbox{d}B^Q_t \\
        && \quad B^Q\mbox{は}Q\mbox{ブラウン運動}, \phi (t),a(t),\sigma(t)\mbox{は確定的な関数}  \\
 \phi(t) &=& \int_0^t \sigma^2(u)
    \mbox{e}^{-2\int_u^t a(v)\mbox{\scriptsize d}v}\mbox{d}u +a(t)(ty(t))'+(ty(t))

\end{eqnarray*}

を満たし, 割引債価格は

\begin{eqnarray*} P(t,T) &=&H_1(t,T) \mbox{e}^{-H_2(t,T)r(t)} \label{b.2}\\ H_2(t,T)&=&\int _t^T \mbox{e}^{-\int _t^s a(v)\mbox{\scriptsize d}v}\mbox{d}s \label{b.3}\\ H_1(t,T)&=&\exp \{\frac{1}{2}\int _t^T \sigma ^2(u) H_2^2(u,T)\mbox{d}u

                                -\int _t^T \phi (u)H_2(u,T)\mbox{d}u\}\label{b.4} 

\end{eqnarray*}

で得られる. これを変形すると,

\begin{eqnarray*} P(t,T) &=&\frac{P(0,T)}{P(0,t)}\exp \left\{(\theta(t)-r(t))H_2(t,T)\frac{}{}\right.\\

    & & \left. +\frac{1}{2}\int_t^T \sigma^2(u)H_2^2(u,T)\mbox{d}u
               -\frac{1}{2}\int_0^T \sigma^2(u)H_2^2(u,T)\mbox{d}u
               +\frac{1}{2}\int_0^t \sigma^2(u)H_2^2(u,t)\mbox{d}u \right\} \\

\theta (t) &=& \int_0^t \sigma^2(u) H_2 (u,t)

   \mbox{e}^{-\int _u^t a(v)\mbox{\scriptsize d}v}\mbox{d}u+(tY(t))'

\end{eqnarray*} となる.

参考文献

[1]

 J. C. Cox,  J. E. Ingersoll and S. A. Ross,
 ``A Theory of the Term Structure of Interest Rates,
 {\it Econometrica},
 {\bf 53} (1985), 385--407.

[2]

 D. Heath, R. Jarrow and A. Morton,
 ``Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates: A New Methodology for Contingent Claims

Valuation,

 {\it Econometrica},
 {\bf 60} (1992), 77--105.

[3]

 J. Hull  and A. White,
 ``Pricing Interest-rate-derivative Securities,
 {\it The Review of Financial Studies},
 {\bf 3} (1990), 573--592.

[4]

 Vasicek, O.A., 
 ``An equilibrium characterization of the term structure,
 {\it Journal of Financial  Economics,} 
 {\bf 5}(1977), 177--188.