凸関数

【とつかんすう (convex function)】

空間 ${\mathbf {R} }^{n}\,$ 上で定義された拡張実数値関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f : {\mathbf R}^n \to [-\infty,+\infty]\,} で, そのエピグラフ${\mbox{epi}}\,f:=\{(x,\mu )\in {\mathbf {R} }^{n+1}\,|\,f(x)\leq \mu \}\,$ が凸集合であるようなもの. 特に, $f(x)=-\infty \,$ となる点 $x\,$ が存在せず, さらに恒等的に $f(x)\equiv +\infty \,$ ではないようなものを真凸関数という. 真凸関数は様々の好ましい性質をもち, 最適化問題に現れる最も基本的な関数のクラスを構成する. 凸関数に関しては, 凸解析と呼ばれる美しい理論体系が整備されている.