Perron-Frobenius定理

【 ペロン-フロベニウスていり(Perron-Frobenius Theorem) 】

Frobeniusにより明らかにされた非負行列の固有値の諸性質は数多くのFrobenius定理 として広く知られている．その中で，Perron-Frobenius定理は非負行列の絶対値 最大固有値の上下限を最適化問題の最適値として与えるものである．本定理は そもそもPerronが正行列に対して証明した内容をFrobeniusが非負行列にまで 拡張したものであり，その定理は以下の通りである．

非負$n$次正方行列$[a_{ij}]$は既約とする． 行列$[a_{ij}]$の絶対値最大固有値$\lambda$は$\lambda >0$であり、$\lambda$に 対応する固有ベクトル$[z_{1},\ldots ,z_{n}]^{\top }$はスカラー倍を除いて一意である． ここで，$^{\top }$は転置を示す．さらに， 成分が全て正である任意の$n$次元ベクトル $[x_{1},\ldots ,x_{n}]^{\top }$に対して,

$\min _{i=1,\ldots ,n}\left\{{\frac {\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j}}{x_{1}}}\cdots ,{\frac {\sum _{j=1}^{n}a_{nj}x_{j}}{x_{n}}}\right\}\leq \lambda \leq \max _{i=1,\ldots ,n}\left\{{\frac {\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j}}{x_{1}}}\cdots ,{\frac {\sum _{j=1}^{n}a_{nj}x_{j}}{x_{n}}}\right\}$

が成立し，

$\max _{x_{1}>0,\ldots ,x_{n}>0}\min _{i=1,\ldots ,n}\left\{{\frac {\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j}}{x_{1}}},\cdots ,{\frac {\sum _{j=1}^{n}a_{nj}x_{j}}{x_{n}}}\right\}\quad =\lambda =\min _{x_{1}>0,\ldots ,x_{n}>0}\max _{i=1,\ldots ,n}\left\{{\frac {\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j}}{x_{1}}},\cdots ,{\frac {\sum _{j=1}^{n}a_{nj}x_{j}}{x_{n}}}\right\}$

が成立する．上式の$[x_{1},\ldots ,x_{n}]^{\top }$に関する最大化問題と最小化問題のいずれの 最適解も$\lambda$に対応する固有ベクトル$[z_{1},\ldots ,z_{n}]^{\top }$のスカラー倍に 限る．