多次元正規分布

【たじげんせいきぶんぷ (multivariate normal distribution)】

代表的な多次元分布. 平均ベクトルを $\mbox{\boldmath$\mu$} =(\mathrm{E}(X_1), \ldots, \mathrm{E}(X_n))$, (分散)共分散行列を $\mathbf{\Sigma}=(\mathrm{Cov}(X_i,X_j))_{i,j=1,\ldots,n}$ とすると, $n$ 次の多次元正規分布の確率密度関数は $\mbox{\boldmath$x$}=(x_1,\cdots,x_n)$ として

\[ f(\mbox{\boldmath$x$})= \displaystyle{\frac{1}{(2\pi)^{n/2} \sqrt{|\mathbf{\Sigma}|}} \mathrm{exp}

 \left[ - \frac{1}{2} 
   (\mbox{\boldmath$x$}-\mbox{\boldmath$\mu$}) \mathbf{\Sigma}^{-1}
   (\mbox{\boldmath$x$}-\mbox{\boldmath$\mu$})^{\top} \right] }

\]

で与えられる. ただし, $\mbox{\boldmath$x$}^{\top}$ はベクトル $\mbox{\boldmath$x$}$ の転置, $|\mathbf{\Sigma}|$ は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.