少数の法則

【しょうすうのほうそく (law of small numbers)】

各 $n$ に対して, $X_{n1}, \, ..., \, X_{nm_n}$ ($\lim_{n \to \infty} m_n = \infty$) を $0$ または $1$ を値にとる独立な確率変数列とする. もし, \begin{itemize} \item[] $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \max_{1\le k \le m_n} \mathrm{P}(X_{nk}=1) = 0,}$ \item[] $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{m_n} \mathrm{P}(X_{nk}=1) = \lambda}$ \end{itemize} であれば, $N_n = \sum_{k=1}^{m_n} X_{nk}$ の分布は $n\to\infty$ のとき, 平均$\lambda$ のポアソン分布に収束する. これを少数の法則という.