フェンシェル型双対定理

【ふぇんしぇるがたそうついていり (Fenchel-type duality theorem)】

フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組$$(f,g)$$とそれらの共役関数の組$$(f^{\bullet },g^{\circ })$$の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, $$\langle p,x\rangle =\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}$$として, 以下の形の主張となる.

\begin{array}{l} \inf\{ f(x) - g(x) \mid x \in {\bf Z}¥sp{n} \} = \\ \hspace*{10mm} \sup\{ g\sp{\circ}(p) - f\sp{\bullet}(p) \mid p \in {\bf Z}\sp{n} \} , \\ f\sp{\bullet}(p) = \sup\{ \langle p, x \rangle - f(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \} : ( p \in {\bf Z}\sp{n}) , g¥sp{¥circ}(p) = \inf\{ \langle p, x \rangle - g(x) \mid x \in {\bf Z}\sp{n} \} \: ( p \in {\bf Z}\sp{n}) . \end{array}