《AHP重要度評価法》
【えーえいちぴーじゅうようどひょうかほう (AHP measurement method) 】
AHPにおける代替案の重要度(総合評価値)は, 各要因(criterion)に関する代替案の評価値を, 各要因の評価値で重みづけて評価する [1]. 各要因に関する代替案の評価値の求め方には, AHP相対評価法 (RM (AHP relative measurement method))とAHP絶対評価法 (AM (AHP absolute measurement method))がある [2, 3]. AHP相対評価法では, 各要因に関する代替案の評価は一対比較によって行う. AHP絶対評価法では要因ごとに設定された評定語を用いて各代替案の評価値を個別に求める. また評価対象間の従属関係を扱う手法にはAHP内部従属法 (AHP inner-dependence method)とAHP外部従属法 (AHP outer-dependence method)がある [2, 3].
1. AHP相対評価法
要因$a_i(i=1, 2, \ldots, n)$の評価値を$x=[x_i]$ , 各要因に関する代替案$b_j(j=1, 2, \ldots, m)$の評価値を$u(i)=[u_j(i)]$, 各代替案の重要度を$y(\mbox{RM})=[y_j]$とする. AHP相対評価法では以下の手順で代替案の重要度を評価する. (1)要因$a_\alpha, a_\beta\in\left\{a_i\right\}$間の一対比較を行い, 一対比較行列$Ha=\left[ h_{\alpha\beta} \right]$を得る. $h_{\alpha\beta}$は評価者が認識した$a_\alpha$と$a_\beta$の評価値の比である. (2)$Ha$から$x$を求める. (3)各要因について代替案$b_\gamma, b_\delta \in \left[ b_j \right]$ 間の一対比較を行い, 一対比較行列$Gb(i)=\left[g_{\gamma\delta}(i)\right]$を得る. $g_{\gamma\delta}$は評価者が認識した$a_i$に関する$b_\gamma$と$b_\delta$の評価値の比である. (4)$Gb(i)$から$u(i)$を求め, $u(i)$を結合して$U=\left[u(1) u(2) \ldots u(m)\right]$を作る. (5)$x$で$U$を重みづけ, 代替案の評価値$y(\mbox{RM})$を求める. その結果, $y(\mbox{RM})=U \cdot x$となる.
AHP相対評価法では, 各代替案の需要度の合計は1となる. 評価作業の負荷パラメータを「観測数＝評価値の入力数」とする [4]. AHP相対評価法の観測数は, ${}_n\mbox{C}_2+n\cdot{}_m\mbox{C}_2$となる.
2. AHP絶対評価法
AHP相対評価法では代替案の評価に代替案間の一対比較を適用するが, (1)代替案数が多くなると作業負荷が幾何級数的に大きくなり評価精度が悪くなる, (2)代替案を追加すると一対比較のやり直しとなる, (3)追加された要因の影響で代替案の順位が不当に逆転する場合がある, などの問題が指摘されている. Saatyはこれらの問題を解決する手法として, 各要因に関する代替案の一対比較を必要としないAHP絶対評価法を提案した.
代替案を評価するために要因$a_i$ごとに設定された評定語 $f_k(i)(k=1, 2, \ldots, \psi(i))$の評価尺度を $z(i)=\left[z_k(i)\right]$とし, 評定語によって評価された各要因に関する代替案の評価値を$v(i)=\left[v_j(i)\right]$, AHP絶対評価法による代替案の重要度を$y(\mbox{AM})$とする. AHP絶対評価法では以下の手順で代替案の重要度を評価する(図\ref{A-H-04+AMimage}). (1)AHP相対評価法と同じ手順で, 要因の評価値 を求める. (2)各要因について代替案評価のための評定語を設定する. 評定語には「良い, 普通, 悪い」などの形容詞のほか「$\bigcirc, \bigtriangleup, \times $」などの記号も用いられる. (3)評定語 $f_{\epsilon}(i), f_{\sigma} (i) \in \left[f_k (i) \right]$間の一対比較を行い, 一対比較行列$Ef(i)=\left[e_{\epsilon\sigma}(i)\right]$を得る. $e_{\epsilon\sigma}(i)$は評価者が認識した$e_\epsilon(i)$と$e_\sigma(i)$の評定語の強さの比である. (4)$Ef(i)$を元に, 各評定語の評価尺度$z(i)$を$\max_k z_k(i)=1$となるように構成し, $f_k(i)$に$z_k(i)$を割り当てる. (5)各要因に関し代替案を評価して$v(i)$を求め, $v(i)$を結合して$V=\left[v(1) v(2) \ldots v(m) \right]$を作る. 評定語$f_k(i)$を用いるため評価値は$v_j(i)=\left[z_k(i)\right]$となる. (6)$x$で$V$を重みづけ代替案の重要度$y(\mbox{AM})$を求める. その結果, $y(\mbox{AM})=V \cdot x$となる.
AHP絶対評価法では, すべての要因に関し最高の評価を得た代替案の重要度が1となる. またAHP絶対評価法の観測数は, ${}_n\mbox{C}_2+\sum_{i=1}^n {}_{\psi(i)}\mbox{C}_2+n\cdot m$となり, 評価対象の数が多くなるとAHP相対評価法に比べて作業負荷が格段に小さくなるが, このような節減は代替案間の一対比較関係から得られる情報と引き換えにされている点に留意する必要がある.
3. AHP内部従属法
同じクラス(階層)に属する評価対象の間に従属関係が存在(内部従属)すると一対比較はその影響を受けて本来の評価結果とは異なる評価結果を導く場合がある. 初期のAHPでは, 独立性の高い要因や代替案の選び出しによってこのような問題を回避していたが, 実際には強い従属関係にある評価対象を取り扱わざるを得ない場面が出てくる. そこでSaatyは, 従属関係を考慮した一対比較分析の手法(AHP内部従属法)を提案した. 要因$a_i$に影響を与える各要因を$a_r(i)(\left[r\right]\subseteq\left[i\right])$, 従属関係が考慮された要因の評価値を$x'$とする.
3. 1. 要因に関するAHP内部従属法
要因に関するAHP内部従属法は以下の手順となる(図2).
(1) 要因の評価値に関する要因$a_\alpha, a_\beta\in\left[a_i\right]$間の一対比較を行い, 一対比較行列$Ha=\left[h_{\alpha\beta}\right]$を得る. (2) $Ha$から$x$を求める. (3) $a_i$に対する影響度の強さを$a_\alpha, a_\beta\in\left[a_r(i)\right]$間で一対比較し, 影響度の一対比較行列$Da(i)=\left[d_{\alpha\beta}(i)\right]$を得る. (4) $Da(i)$を元に, $a_i$に対する各要因の影響度$p(i)=\left[p_{i'}(i)\right](i'=1, 2, \ldots, n)$を求める. 影響しない要因の影響度は０とする. (5)$p(i)$を結合し要因間の内部従属行列$P=\left[p(1) p(2) \cdots p(n) \right]$を作る. すべての要因が独立のとき$P=I$となる. (6)$x$を$P$で修正し, $x'$を求める. その結果, $x'=P \cdot x$となる.
要因に関するAHP内部従属法の最大観測数は, $n \cdot {}_n\mbox{C}_2$となる.
3. 2. 代替案に関するAHP内部従属法
代替案に関するAHP内部従属法は以下の手順となる(図3).
要因$a_i$に関し, 代替案$b_j$に影響を与える各代替案を$b_t(i, j)(\left[t\right]\subseteq \left[j\right])$とする. (1) 要因の評価値について一対比較し, 一対比較行列$G(i)$から$u(i)$を求める. (2) $a_i$に関する代替案$b_j$への各代替案の影響度の強さを$b_\gamma , b_\delta \in \left[b_t(i, j)\right]$間で一対比較し, 一対比較行列$Db(i, j)=\left[d_{\gamma \delta}(i, j) \right]$を作る. (3) $Db(i, j)$を元に, $a_i$に関する$b_j$への各代替案の影響度$q(i, j)=\left[ q_{j'} (i, j) \right] (j'=1, 2, \ldots , m)$を求める. 影響しない代替案の影響度は０とする. (4) $q(i, j)$を結合し, 代替案間の内部従属行列$Q(i)=\left[q(i, 1) q(i, 2) \ldots q(i, m) \right]$を作る. (5) $u(i)$を$Q(i)$で修正し, $u'(i)=Q(i) \cdot u(i)$を作る. (6) $u'(i)$を結合し, $U'=\left[u'(1) u'(2) \ldots u'(n)\right]$を作る. (7) $x$で$U'$を重みづけ, 代替案の評価値$y'(\mbox{RM})$を求める. その結果, $y'(\mbox{RM})=U'\cdot x$となる. 要因と代替案がともに内部従属するときは$y'(\mbox{RM})=U'\cdot x'$となる.
代替案に関するAHP内部従属法における最大観測数は, $n \cdot m \cdot {}_m\mbox{C}_2$となる.
AHP内部従属法は一対比較を綿密に行うための手法だが, 観測数[作業負荷]の増大による評価品質の低下の危険性も大きくなるので, 実施に当たっては何らかの品質統制が必要である [4].
4. AHP外部従属法
別のクラス(階層)に属する評価対象の間に従属関係が存在することを外部従属関係という (図4).
従来型AHPにおける代替案の重要度は, 要因に関する代替案の評価値を要因の評価値で重みづけて求める. これに対して要因と代替案が相互評価したり評価目的・要因・代替案の評価が依存しあうネットワーク構造の場合は, これらの評価関係を評価システムとして表し, システムの解としてそれぞれのクラスの評価対象の重要度を求めなければならない. Saatyは, このような評価関係を一種の推移行列である超行列で表し超行列の積の極限行列によって解を得るAHP外部従属法を提案した [2] が, 高橋は超行列の主固有ベクトルによっても同じ解が得られることを示した [5]. AHP外部従属法は当初, 階層構造における下位階層から上位階層へのフィードバック的評価を分析する手法として考案されたが, この立場は現在ではより一般的なネットワーク構造を扱うANP:Analytic Network Processの要素技術へと発展的に解消し, 従来型AHPにおける評価目的・要因・代替案の階層構造も外部従属関係の組合せの一つと見なされるに至っている.
5. 一対比較行列から評価値を求める方法について
一対比較行列から評価値を求める方法について, Saatyは一対比較行列の主固有ベクトルを解とする固有ベクトル法を提案した [1] が, 固有ベクトル法は(1)データモデルが不明であり, (2)真の評価値と推定値の誤差の最小化を狙うならLLS(Logarithmic Least Square method : 対数最小2乗法)の方が優れている, との疑問があった [5]. これに対し, 関谷と八巻は「固有ベクトルは, 一対比較行列内の自己評価と非自己評価をめぐる誤差処理に関する均衡モデルのミニマックス解」であることを数学的に証明し, この手法のデータモデルを解明した [6]. いっぽう中西と木下は一対比較行列内の評価視点ごとの評価値のずれに着目した視点間ストレス法を提案している [7].
一対比較行列の中に欠損値がある不完全一対比較行列に対しては, Harker等による近似計算法が提案されている [8]. また区間AHP法やファジィAHP法などの拡張モデルも提案されている.
これらの手法は一対比較行列を意味づけるデータモデルが異なっているので, 分析対象と合致したデータモデルを備えた手法を組合せた適用が必要である.
参考文献
[1] T. L. Saaty, "The Analytic Hierarchy Process," McGraw-Hill, 1980.
[2] T. L. Saaty, "The Analytic Network Process," Expert Choice Inc., 1996.
[3] 木下栄蔵, 『AHP手法と応用技術』, 総合技術センター, 1993.
[4] 木下栄蔵, 中西昌武, 「AHPのプロジェクト評価への簡便的適用に関する研究」, 『土木計画学研究・講演集』 17 (1995), 691-694.
[5] 高橋磐郎, 「AHPからANPへの諸問題III」, 『オペレーションズ・リサーチ』, 3 (1998), 160-163.
[6] K. Sekitani and N. Yamaki, "A Logical Interpretation for the Eigenvalue Method in AHP," Journal of the Operations Research Society of Japan, 42 (1999), 219-232.
[7] 中西昌武, 木下栄蔵, 「「視点間ストレス法」によるAHPの提案」, 『土木計画学研究・論文集』, 15 (1998), 165-174.
[8] P. T. Harker, "Incomplete Pairwise Comparisons in the Analytic Hierarchy Process," Mathematical Modelling, 11 (1999), 837-848.