伊藤の補題

【いとうのほだい (Itôs lemma)】

拡散過程$X_t$の微小時間d$t$での平均が$\mu (t, X_t) {\mbox{d}}t$, 分散が$\sigma^2 (t,X_t) {\mbox{d}}t$で与えられるとき, 確率微分方程式では${\mbox{d}}X_t=\mu(t,X_t){\mbox{d}}t +\sigma (t,X_t) {\mbox{d}}B_t$と表現する. ここで$B_t$はブラウン運動である. さらに$Y_t=g(t,X_t)$と変換すると, $Y_t$は伊藤の補題により,

$ \mbox{d}Y_t = g_t(t, X_t) \mbox{d}t + g_x(t, X_t) \mbox{d}X_t

+ (1/2)g_{xx}(t, X_t)(\mbox{d} X_t)^2 $

を満たす.

ただし$({\mbox{d}}X_t)^2$は, 計算規則

$ {\mbox{d}}t \cdot {\mbox{d}}t = {\mbox{d}}t \cdot {\mbox{d}}B_t = {\mbox{d}}B_t \cdot {\mbox{d}}t = 0, \ \ {\mbox{d}}B_t \cdot {\mbox{d}}B_t={\mbox{d}}t$

により与えられる.