重い裾をもつ分布

【おもいすそをもつぶんぷ (heavy tailed distribution) 】

分布関数$F(x)$の裾$F(-x)$または$1-F(x)$が $x\to \infty$のとき，指数的に減少しない，すなわち， 任意の$\theta >0$に対して$e^{\theta x}F(-x)$または$e^{\theta c}(1-F(x))$が発散するならば， 分布$F$は重い裾をもつという． 例えば，定数$a,b>0$に対して

$1-F(x)\sim ax^{-b},\qquad x\to \infty$

ならば，$F$は重い裾をもつ． ここに，$f(x)\sim g(x)$は $\lim _{x\to \infty }f(x)/g(x)=1$が成り立つことを表す． このような分布の例に，$F(x)=1-x^{-b}$ $(x>0)$により 定義されたパレート分布がある． 一般に，$\lim _{x\to \infty }h(x)/x=0$となるような増加関数$h(x)$に対して， $1-F(x)=e^{-h(x)}$とするとき，$F$は重い裾をもつ．