【ふぇんしぇるがたそうついていり (Fenchel-type duality theorem)】
フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組 ( f , g ) {\displaystyle (f,g)} とそれらの共役関数の組 ( f ∙ , g ∘ ) {\displaystyle (f^{\bullet },g^{\circ })} の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, ⟨ p , x ⟩ = ∑ i = 1 n p i x i {\displaystyle \textstyle \langle p,x\rangle =\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}} として, 以下の形の主張となる.
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inf { f ( x ) − g ( x ) ∣ x ∈ Z } n = {\displaystyle {\mbox{inf}}\{f(x)-g(x)\mid x\in {\mathbf {Z} }\}^{n}=}
f ∙ ( p ) = sup { ⟨ p , x ⟩ − f ( x ) ∣ x ∈ Z n } : ( p ∈ Z n ) , {\displaystyle f^{\bullet }(p)={\mbox{sup}}\{\langle p,x\rangle -f(x)\mid x\in {\mathbf {Z} }^{n}\}:(p\in {\mathbf {Z} }^{n}),} g ∘ ( p ) = inf { ⟨ p , x ⟩ − g ( x ) ∣ x ∈ Z n } : ( p ∈ Z n ) . {\displaystyle g^{\circ }(p)={\mbox{inf}}\{\langle p,x\rangle -g(x)\mid x\in {\mathbf {Z} }^{n}\}:(p\in {\mathbf {Z} }^{n}).}
とそれらの共役関数の組
の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, 
として, 以下の形の主張となる. 
