【たじげんせいきぶんぷ (multivariate normal distribution)】
代表的な多次元分布. 平均ベクトルを μ = ( E ( X 1 ) , … , E ( X n ) ) {\displaystyle \mathbf {\mu } =(\mathrm {E} (X_{1}),\ldots ,\mathrm {E} (X_{n}))\,} , (分散)共分散行列を Σ = ( C o v ( X i , X j ) ) i , j = 1 , … , n {\displaystyle \mathbf {\Sigma } =(\mathrm {Cov} (X_{i},X_{j}))_{i,j=1,\ldots ,n}\,} とすると, n {\displaystyle n\,} 次の多次元正規分布の確率密度関数は x = ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\cdots ,x_{n})\,} として
f ( x ) = 1 ( 2 π ) n / 2 | Σ | e x p [ − 1 2 ( x − μ ) Σ − 1 ( x − μ ) ⊤ ] {\displaystyle f(\mathbf {x} )=\displaystyle {{\frac {1}{(2\pi )^{n/2}{\sqrt {|\mathbf {\Sigma } |}}}}\mathrm {exp} \left[-{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } )\mathbf {\Sigma } ^{-1}(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } )^{\top }\right]}\,}
で与えられる. ただし, x ⊤ {\displaystyle \mathbf {x} ^{\top }\,} はベクトル x {\displaystyle \mathbf {x} \,} の転置, | Σ | {\displaystyle |\mathbf {\Sigma } |\,} は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.
, (分散)共分散行列を 
とすると, 
次の多次元正規分布の確率密度関数は 
として
![{\displaystyle f(\mathbf {x} )=\displaystyle {{\frac {1}{(2\pi )^{n/2}{\sqrt {|\mathbf {\Sigma } |}}}}\mathrm {exp} \left[-{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } )\mathbf {\Sigma } ^{-1}(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } )^{\top }\right]}\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b028f4b9c5594a57a1f05274e751015e94d12e)
はベクトル 
の転置, 
は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.