フェンシェルの双対性

【ふぇんしぇるのそうついせい (Fenchel duality)】

2つの下半連続な真凸関数 $$k:{\bf {R}}^{n}\to {\bar {\bf {R}}}$$ と $$h:{\bf {R}}^{m}\to {\bar {\bf {R}}}$$, および $$A\in {{\bf {R}}^{m\times {n}}}$$, $$b\in {{\bf {R}}^{m}}$$, $$c\in {{\bf {R}}^{n}}$$ に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと.

${\begin{array}{l}\displaystyle {\min _{x\in {{\bf {R}}^{n}}}\;\{c^{T}x+k(x)+h(b-Ax)\},}\\\displaystyle {\max _{y\in {{\bf {R}}^{m}}}\;\{b^{T}y-h^{*}(y)-k^{*}(A^{T}y-c)\}}\end{array}}$

\[

\]

ここで, ${}^*$ は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 $f_1(x)$ と凹関数 $f_2(x)$ の差で表した主問題 $\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}$ に対して, $\max_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}$ をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.