【きぞく (base family)】
マトロイド M = ( N , I ) {\displaystyle \mathbf {M} =(N,{\mathcal {I}})\,} において, 極大な独立集合を基と呼ぶ. すべての基を集めた基族 B {\displaystyle {\mathcal {B}}\,} は以下の ( B 0 ) − ( B 1 ) {\displaystyle (\mathbf {B0} )-(\mathbf {B1} )\,} を満たす.
( B 0 ) {\displaystyle (\mathbf {B0} )\,} B ≠ ∅ {\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \emptyset \,} .
( B 1 ) {\displaystyle (\mathbf {B1} )\,} B , F ∈ B {\displaystyle B,F\in {\mathcal {B}}\,} , i ∈ B ∖ F ⇒ ∃ j ∈ F ∖ B {\displaystyle i\in B\backslash F\Rightarrow \exists j\in F\backslash B\,} : ( B ∖ { i } ) ∪ { j } ∈ B {\displaystyle (B\backslash \{i\})\cup \{j\}\in {\mathcal {B}}\,} .
逆に, ( B 0 ) − ( B 1 ) {\displaystyle (\mathbf {B0} )-(\mathbf {B1} )\,} を満たす部分集合族 B {\displaystyle {\mathcal {B}}\,} によってマトロイドを定義することもできる.
において, 極大な独立集合を基と呼ぶ. すべての基を集めた基族 
は以下の 
を満たす.
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を満たす部分集合族 によってマトロイドを定義することもできる.