離散型分布

【りさんがたぶんぷ (discrete distribution)】

とり得る値が高々可算個であるような分布. 確率変数 $X\,$ が $\{\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},\ldots \}\,$ 上の値をとる離散型分布にしたがうとき, その確率規則は確率関数，すなわち，各 $a_{k}\,$ にその値をとる確率を対応させた関数 $f(a_{k})=\mathrm {P} (X=a_{k})\,$によって表現される．

代表的な離散型分布の確率関数は以下の通り

1.　ベルヌイ分布（パラメータ $p\,$）

$f(0)=1-p,\ \ f(1)=p\,$

2.　2項分布（パラメータ $n,p\,$）

$f(k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\ldots ,n\,$

3.　幾何分布（パラメータ $p\,$）

$f(k)=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,\ldots \,$

4.　ポアソン分布（パラメータ $\lambda \,$）

$f(k)={\dfrac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda },\quad k=0,1,2,\ldots \,$

5.　負の2項分布（パラメータ $\alpha ,\theta /(1+\theta )\,$）

$f(k)={-\alpha \choose k}\left({\dfrac {1}{\theta }}\right)^{k}\left({\dfrac {1+\theta }{\theta }}\right)^{-\alpha -k},\quad k=0,1,\ldots ,n\,$

6.　多項分布（パラメータ $n,p_{1},p_{2},...,p_{m}\,$）

$f(k_{1},k_{2},...,k_{m})={\dfrac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m}!}}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{m}^{k_{m}},\quad k_{i}=0,1,\ldots ;k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n\,$