フラクタルブラウン運動

【 ふらくたるぶらうんうんどう (fractal Brownian motion) 】

平均が$0$となるように値をずらせた確率過程$X(t)$が ガウス過程， すなわち， 任意の正の整数$n$と任意の$0<t_{1}<\cdots <t_{n}$に 対して， $X(t_{1}),X(t_{2}),\cdots ,X(t_{n})$の結合分布が 多次元正規分布に等しいとする． この確率過程は， 共分散が$0<H<1$を満たす定数$H$に対して，

$Cov(X(s),X(t))={\frac {1}{2}}(t^{2H}+s^{2H}-(t-s)^{2H}),\qquad t>s>0$

であるとき， ハースト定数$H$をもつ自己相似過程となる． この自己相似過程を， ハースト定数$H$をもつフラクタルブラウン運動と呼ぶ． 特に，$H={\frac {1}{2}}$ならばブラウン運動に等しい． $H>{\frac {1}{2}}$ならば$H$が大きいほど強い正の相関をもち，$0<H<{\frac {1}{2}}$ならば負の相関をもつ．