オルンシュタイン・ウーレンベック過程

【おるんしゅたいんうーれんべっくかてい (Ornstein-Uhlenbeck process)】

構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \{B(t)\}_{t\geq 0}\,} をブラウン運動とするとき, ランジュバン (Langevin) の方程式と呼ばれる確率微分方程式~$\mathrm {d} U(t)=-\alpha \,U(t)\,\mathrm {d} t+\sigma \,\mathrm {d} B(t)\,$($\alpha >0\,$, 構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \sigma >0\,} ) の解

構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle U(t)=\mathrm {e} ^{-\alpha t}\,{\Bigl (}U(0)+\sigma \int _{0}^{t}\mathrm {e} ^{\alpha s}\,\mathrm {d} B(s){\Bigr )}\,}

によって表される確率過程~構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \{U(t)\}_{t \ge 0} \,} . この確率過程は連続な標本路をもつマルコフ過程であり, 構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle U(0)=x\,} のもとで正規型の定常分布~${\mbox{N}}(x,\sigma ^{2}/(2\,\alpha ))\,$ をもつ.