ポテンシャル関数 (内点法の)

【ぽてんしゃるかんすう (potential function)】

標準形の線形計画問題「 ${\mbox{min. }}\ c^{\top }x\ {\mbox{s.t.}}\ Ax=b,\ x\geq 0\,$ ($A\,$は$m\times n\,$行列, $b\in {\mathbf {R} }^{m}\,$, $c\in {\mathbf {R} }^{n}\,$)」 に対する内点法で用いられるポテンシャル関数は,

$f(x:\rho ):=(n+\rho )\ln(c^{\top }x-c^{*})-\sum _{j=1}^{n}\ln x_{j}\,$

($c^{*}\,$は主問題の最小値, $\rho \,$はパラメータ)で与えられる. カーマーカーが初めて導入した関数であり, 既与の$\rho >0\,$に対して, 正領域内の許容解の点列$\{x^{k}\}\,$が$f(x^{k})\rightarrow -\infty \,$ であるとき, その集積点はすべて最適解という性質をもつ.